Question

Zadanie w załaczniku nie jest tego duzo ale prosiłbym równiez o wytłumaczenie mi tych przykładów

Answer 1

Kwantyfikatory: - dla każdego a
istnieje takie a, że.
a)
czyli sprawdzamy, czy dla każdego a i dla każdego x zachodzi
czyli nie trudno zauważyć, że nie jest to prawdą
jeszcze zanim pokażemy to, jak się zaprzecza kwantyfikatory:
"Nieprawda, że dla każdego" <=> istnieje taki, że nie
"Nieprawda, że istnieje" <=> dla każdego nie zachodzi"
Wracamy do przykładu:
weźmy
wtedy
a zatem wartość logiczna wyrażenia
czyli pokazaliśmy, że istnieje takie a i x, że
Czyli wartość logiczna w przykładzie a wynosi 0
b)
Dla każdego a istnieje taki x, że
Czyli chcemy pokazać, że dla każdego a możemy dobrać x tak, żeby

Ze względu na x jest to nierówność kwadratowa.
Gdy to
Niech
Wówczas zauważmy, że
Zatem dla istnieje takie x, (równe 1/a), że
czyli wartość logiczna wynosi 1
Gdy , to dla x = 1
Zatem dla istnieje takie x, równe 1, że
c) Pytamy czy istnieje takie a, że dla każdego x zachodzi wcześniejsza nierówność.
Czyli zagadnienie sprowadza się do wyznaczenia wartości parametru a (jednego) dla którego funkcja jest stale ujemna.
Weźmy
Chcemy pokazać, że dla każdego x
mamy, że współczynnik przy jest ujemny, dodatkowo
Czyli funkcja jest stale mniejsza od 0
a zatem wartość logiczna wyrażenia c wynosi 1
d) wystarczy wskazać "z palca" jakieś a i x, że [tex\phi(a,x)[/tex]
Pokazaliśmy w c, że dla dla dowolnego x zachodzi
Więc weźmy a = -1, x = 0, i mamy, że wartość logiczna d wynosi 1
f) Dla każdego x istnieje takie a, że
Czyli teraz patrzymy na ze względu na a.
to znaczy niech a zatem g jest funkcją liniową
chcemy każdemu x przyporządkować takie a, że g(a) < 0
niech a = -1, mamy w podpunkcie c, pokazaliśmy, że dla każdego x, więc dla każdego x istnieje takie a (równe -1), że , więc wartość logiczna wynosi 1
e) istnieje takie x, że dla każdego a, zachodzi
czyli pytamy czy można znaleźć takie x, że będzie ono dobre dla każdego a
czyli czy
weźmy x = 0, wtedy , a zatem dla każdego a czyli , a zatem wartość logiczna wynosi 1