Question

Witam mam problem z warunkiem koniecznym i wystarczajacym mógłby mi ktos podac i rozjsnic to na przykłądzie wazne zeby to było na twierdzeniach byłbym bardzo wdzieczny

edit moze byc na tych np. p=>q i ~q=>vp

Answer 1

Jeśli mamy implikację p=>q, to mówimy, że q jest warunkiem koniecznym dla p. Ponadto mówimy, że p jest warunkiem wystarczającym dla q.
Jeżeli implikacja zachodzi w obie strony, to mamy równoważność (czyli p<=>q), co oznacza, że p jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla q.

Klasyczny przykład:
Warunek konieczny na istnienie ekstremum: pochodna funkcji wynosi 0. Zauważ, że jeśli pochodna jest równa 0, to niekoniecznie funkcja musi mieć w danym punkcie ekstremum.
Czyli zdanie p oznacza: "Funkcja ma ekstremum w punkcie x0". Zdanie q oznacza: "Pochodna funkcji w punkcie x0 wynosi 0".
Jeszcze raz interpretacja: żeby istniało ekstremum, pochodna musi być równa 0 (jest to warunek konieczny, ale jeszcze nie wystarczający! nie możemy wyciągnąć wniosku, że jeśli pochodna się zeruje to zawsze istnieje ekstremum).

Inny przykład:
Warunkiem koniecznym na to, by dwa trójkąty były przystające jest to, że mają równe kąty. Ale jeszcze nie jest wystarczający warunek, bo mogą być tylko podobne!

Warunek wystarczający:
Tutaj bardzo fajnie widać z podzielnością liczb.
Jeśli liczba jest podzielna przez 10 (zdanie p), to jest podzielna przez 5 (zdanie q).
p=>q
Czyli p jest warunkiem wystarczającym na to, żeby q.
Interpretacja: aby liczba była podzielna przez 5, wystarczy, że jest podzielna przez 10.

I wreszcie warunek konieczny i wystarczający:
Aby liczba była podzielna przez 6 (zdanie p), musi być podzielna przez 2 i 3 (zdanie q).
p<=>q

Innymi słowy: podzielność liczby przez 6 oznacza DOKŁADNIE TO SAMO, co podzielność liczby jednocześnie przez 2 i przez 3.

Inny przykład (prosiłeś o twierdzenie):
WKW na izomorfizm
Dwie przestrzenie wektorowe U,V są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar.

U~V <=> dim U = dim V
Warunkiem koniecznym na izomorfizm przestrzeni jest to, by miały ten sam wymiar, ale jednocześnie możemy wyciągnąć wniosek, że jeśli przestrzenie są izomorficzne, to jest to warunek wystarczający, by stwierdzić, że mają ten sam wymiar.