Question

Zadanie dotyczy funkcji kwadratowej :
strona książki ma obwód 68cm. Oblicz jakie wymiary powinna mieć strona tej książki, aby zapewnić maksymalną powierzchnię druku, jeśli zakłada się, że marginesy boczne i dolny będą jednocentymetrowe, zaś margines górny - dwucentymetrowy.

Answer 1

Niech a oznacza szerokość strony, zaś b jej długość (cm).

założenie: a,b >0

Z treści
zadania wiemy, że Obw.=68 [cm].
Strona ma kształt prostokąta, stąd:

2a+2b=68 \iff a+b=34 \iff a=34-b

a>0 \iff 34-b>0 \iff b<34

założenie: b\in (0;34)

Uwzględniając założenie o marginesach, mamy następujące wymiary powierzchni przeznaczonej na druk:

a-2- szerokość oraz b-3 długość.

Pole powierzchni przeznaczonej na druk:

P=(a-2)(b-3)

P=(34-b-2)(b-3)=(32-b)(b-3)=-b^{2}+35b-96

P(b)=-b^{2}+35b-96 jest f-cją kwadratową, która przyjmuje największą wartość dla odciętej wierzchołka paraboli, tj.:

b=\frac{-35}{-2}=17,5 \in (0;34)

a=34-b=34-17,5=16,5

Odp.: Strona książki powinna mieć wymiary 16,5 cm na 17,5 cm.