Question

zadanie 9

punkty A(-3pierwiastki z 3;0) B(5pierwiastków z 3;0) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC wyznacz współrzędne wierzchołka C

zadanie 10

Oblicz długość boku trójkąta równobocznego ABC którego wierzchołek A ma współrzędne (2;1-pierwiastek z 2) zas punkt S (-3;1) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

zadanie 11

Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ABC w którym B(2;-1) i C (4;3)

zadanie 12

Mając dane współrzędne wierzchołków A(-4;-2) i B(2;1) trójkąta rónobocznego ABC oblicz odległość pkt przeciecia się wysokości tego trójkąta od wierzchołka C

zadanie 13

Określ wzajemne położenie okregów o1 : (x+3)^2+(y-1)^2= 4i o2 : x^2+y^2-2x-8y+8=0

zadanie 14

Wykaż że odcianka o koncach P(-2;4) Q(6;-2) jest średnica okręgu x^2+y^2-4x-2y-20=0

zadanie 15

wykaż że środek odcinka o końcach A(-pierwiastek z 2;2) B (3pierwiastki z 2;6) należy do okregu o równaniu (x+pierwiastek z 2)^2 + (y-3)^2=9

zadanie 16

napisz równanie okregu opisanego na prostokącie KLMN w którym dane są przeciwległe wierzchołki K (0;-3) M (6;5)

zadanie 17

Oblicz odległość między środkami okręgów o równaniach : (x+4)^2+(y+2)^2=16 i (x-1)^2 + (y+1)^2 = 1

zadanie 18

Oblicz odległość między środkami odcinków AB i CD wiedząc że A (-3;6) B(7;3) C(-6;-7) D (0;8)

zadanie 19

Oblicz odległość między prostymi równoległymi o równaniach y=-2x+2 i y=-2x-4

zadanie 20

wyznacz odległośc punktu przecięcia się prostych m : 2x+2 i p: y=-x-7 od początku układu współrzędnych

zadanie 21

wyznacz odległość punktu przecięcia sie prostych k: 3x-y-2=0 i l: x+2y-10=0 od osi OX

zadanie 22

wyznacz wartość parametru m E R dla której proste określone równaniami y=m(2-x) i y=(3-m) x-7 przecinają sie w punkcie P(3;1)

Answer 1

z.9

A = ( - 3 p(3); 0 ) ,  B = ( 5 p(3) ; 0 )

zatem

I AB I = 5 p(3) - ( - 3 p(3)) = 8 p(3)

Niech C = (x ; y)

Trójkąt jest równoboczny, zatem

I AC I = I BC I

czyli

I AC I^2 = I BC I^2

( x - ( - 3 p(3)))^2 + ( y - 0)^2 = ( x - 5 p(3))^2 + (y - 0)^2

( x + 3 p(3))^2 + y^2 = (x - 5 p(3))^2 + y^2

x^2 + 6 p(3)x + 27  = x^2 - 10 p(3) + 75

16 p(3) x = 75 - 27

16 p(3) x = 48  / : 16 p(3)

x = p(3)

========

D = ( p(3) ; 0) 

I CD I = h - wysokość trójkąta równobocznego

a = I AB I = 8 p(3)

zatem

h = a *p(3)/2 = 8 p(3)* p(3)/2 = 4*3 = 12

C = ( p(3); h) = ( p(3) ; 12 )

==============================

Pierwszą współrzędną punktu D mozna obliczyć krócej jako środek

odcinka AB.

x s = [ - 3 p(3) + 5 p(3)]/2 = 2 p(3)/2 = p(3)

---------------------------------------------------------------------------------

z.10

A = (2 ;  1 - p(2))

S = (3 ; - 1)  -  środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC

Mamy

I AS I = (2 /3)*h

h- wysokość tego trójkąta

I AS I^2 = ( 3 - 2)^2 + ( -1 - (1 - p(2)))^2 = 1^2 + ( -2 + p(2))^2 =

= 1 + 4 - 4 p(2) + 2 = 7 - 4 p(2)

I AS I^2 = 7 - 4 p(2)  > 0

zatem

I AS I = p [ 7 - 4 p(2) ]

Mamy

(2/3) h = p [ 7 - 4 p(2) ]

h = (3/2) *p [ 7 - 4 p(2) ]

=========================

ale  h = a p(3)/2

zatem

a p(3)/2 = (3/2) *p [ 7 - 4 p(2) ]  / * [ 2 / p(3) ]

a = p(3) *p [ 7 - 4 p(2)] = p [ 7*3 - 3*4 p(2) ] = p [ 21 - 12 p(2)]

Odp. a = p [ 21 - 12 p(2)] = około 2

==========================================================

z.11

 

B = (2 ; - 1),  C = ( 4; 3)

 

Obliczam długość boku trójkąta równobocznego

a^2 = I BC I^2 = ( 4 - 2)^2 + (3 - (-1))^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20

a^2 = 20 = 4*5

zatem  a = 2 p(5)

==================

Obliczam wysokość  tego trójkąta

 

h = a p(3)/2 = 2 p(5) * p(3)/2 = p(15)

Obliczam długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt

r = (1/3) h = (1/3)* p(15)

Odp.

r = p(15)/3

==========================

 

 z.12

A = ( -4; -2) , B = ( 2; 1)

Obliczam długość boku trójkąta równobocznego ABC

a = I AB I

a^2 = I AB I^2 = (2 - (-4))^2 + (1 - (-2))^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45

a^2 = 45 = 9*5

zatem

a = 3 p(5)

---------------

Obliczam wysokość tego trójkąta

h = a p(3)/2 = 3 p(5) *p(3)/2 = (3/2) p(15)

--------------------------------------------------------

Obliczam odległość wierzchołka C od punktu przecięcia się wysokości

tego trójkąta

d = (2/3) h = (2/3) * (3/2) p(15) = p(15)

Odp. d = p(15)

==================

 z.13

 

o1 : ( x +3)^2 = (y - 1)^2 = 4

zatem

S1 = ( -3 ; 1)   oraz   r1 = 2

--------------------------------

o2 : x^2 + y^2 -2x - 8y + 8 = 0

czyli

( x - 1)^2 - 1 + ( y - 4)^2 - 16 + 8 = 0

(x -1)^2 + ( y - 4)^2 = 9

zatem

S2 = (1; 4)  oraz    r2 = 3

-----------------------------

Obliczam odległość środków tych okręgów

I S 1 S2 I^2 = ( 1 -(-3))^2 + (4 - 1)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25

zatem

I S1 S2 I = p(25) = 5

-------------------------

oraz

r1 + r2 =2 + 3 = 5

----------------------

Ponieważ  I S! S2 I = 5 = r1 + r2

zatem

Odp. Okręgi są styczne zewnętrznie.

==========================================

 z.14

P = ( -2; 4) , Q = ( 6; -2)

x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0

Sprawdzam czy te punkty leżą na okręgu

Wstawiam -2 za x oraz 4 za y

(-2)^2 + 4^2 - 4*(-2) -2*4 - 20 = 4 + 16 + 8 - 8 - 20 = 0

Wstawiam 6 za x  oraz (-2) za y

6^2 + (-2)^2 -4*6 - 2*(-2) - 20 = 36 + 4 - 24 + 4 - 20 =  0

Oba punkty P i Q leżą na danym okręgu, czyli odcinek PQ jest cięciwą

okręgu.

Obliczam długość promienia danego okręgu

(x - 2)^2 - 4 + ( y -1)^2 - 1 - 20 = 0

(x -2)^2 + (y - 1)^2 = 25

zatem

r = p(25) = 5

-------------------

oraz  średnica ma długość  2r = 2*5 = 10

Obliczam długość odcinka PQ

I PQ I^2 = (6 - (-2))^2 + ( -2 - 4)^2 = 8^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100

zatem

I PQ I = p(100) = 10

Cięciwa PQ ma długość 10, zatem jest średnicą danego okręgu.

==========================================================

 

 z.15

A = ( - p(2) ; 2 )   B = ( 3 p(2) ; 6)

S - środek odcinka AB

x s = [ - p(2) + 3 p(2)}/2 = p(2)

y s = [ 2 + 6]/2 = 4

zatem  S = ( p(2); 4)

====================

o : ( x + p(2))^2 = ( y -3)^2 = 9

Wstawiam p(2) za x oraz  4 za y :

( p(2) + p(2))^2 + (4 -3)^2 = ( 2 p(2))^2 + 1^2 = 4*2 + 1 = 8 + 1 = 9

Równanie jest spełnione, czyli punkt S  należy do danego okręgu

( leży na danym okręgu ).

================================

 z.16

K= ( 0 ; - 3),  M = ( 6 ; 5)  - przeciwległe wierzchołki prostokąta KLMN

 S - środek odcinka KM - środek okręgu opisanego na prostokącie

S = ( (0 +6)/ 2 ; (-3 + 5)/2 ) = ( 3; 1 )

I KS I = r - długość promienia okręgu opisanego

r^2 = I KS I^2 = ( 3 - 0)^2 = (1 - (-3))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

Korzystamy teraz z wzoru ( równanie okręgu ):

 (x - a)^2 + ( y - b)^2 = r^2 , gdzie S = (a; b)

zatem mamy

Odp.

(x  -3)^2 + ( y - 1)^2 = 25

=========================

 z.17

 

(x + 4)^2 + ( y + 2)^2 = 16

(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1

Z wzorów odczytujemy współrzędne środków tch okręgów:

S1 = ( -4; -2)

D2 = (1 ; - 1)

zatem odległość środków

I S1 S2 I^2 = ( 1 - (-4))^2 + ( -1 - (-2))^2 = 5^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26

zatem

I S1 S2 I = p (26)

==================

p(26) - pierwiastek kwadratowy z 26

=============================================================

z.18

 

A = ( - 3; 6)  , B = ( 7; 3)  oraz  C = (-6 ; -7), D = (0; 8 )

S1 - środek odcinka AB

S2 - środek odcinka CD

Mamy

S1 = ( (-3 +7)/2 ; ( 6 + 3)/2 ) = ( 2; 4,5 )

S2 = ((- 6 + 0)/2 ; ( - 7 + 8)/2 ) = ( -3 ; 0,5)

zatem odległość S1 od S2 obliczymy

I S1 S2 I^2 = ( -3 - 2)^2 + (0,5 - 4,5)^2 = (-5)^2 + ( - 4)^2 = 25 + 16 = 41

więc

I S1 S2 I = p(41 )

====================

 z.19

y = - 2x + 2

y = -2x - 4

Zapiszemy równania tych prostych w postaci ogólnej :

Ax + By + C = 0

Mamy więc

2x + y - 2 = 0

2x + y + 4 = 0

--------------------

Mamy A = 2, B = 1, C1 = - 2 , C2 = 4

Korzystamy z wzoru na odległość prostych równoległych

d = I C1 - C2 I/ p( A^2 = B^2 )

czyli

d = I -2 - 4 I / p( 2^2 + 1^2 ) = I - 6 I/ p( 4 + 1) = 6/ p(5)

Odp. d = 6/ p(5)   lub  d = (6/5) p(5)

=====================================

/  - kreska ułamkowa

==================================================

z.20

 

m:   y = 2x + 2

p : y = x - 7

Szukam punktu przecięcia się prostych m, p

Rozwiązujemy uklad równań:

y = 2x + 2

y = x - 7

---------------------

2x + 2 = x - 7

2x -x = - 7 - 2

x = - 9

=======

y = x - 7 = -9 - 7 = - 16

=========================

P = ( -9; - 16) - punkt przecięcia się prostych m oraz p

oraz  O = ( 0; 0) -  początek układu  współrzędnych

 d = I P O I

zatem

 d^2 = ( 0 - (-9))^2 + ( 0 -(-16))^2 = 9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337

zatem  d = p(337) = około 18,4

==================================

 z.21

k :  3x - y -  2 =  0

l :  x + 2y - 10 =  0

 

Szukam punktu przecięcia się tych prostych

y = 3x - 2

x + 2*(3x - 2) - 10 = 0

x + 6x - 4 - 10 = 0

7x = 14

x = 2

y = 3*2 - 2 = 6 - 2 = 4

P = ( 2; 4)

Odp.

Odległość punkru  P od osi OX jest równa  y = 4

=========================================

z.22

 

 

 

Bardzo mało punktów jak na tyle zadań !!!

Cdn.

później  jak nikt nie usunie zadań