Question

pod koniec sierpnia mam poprawke z matematyki. Pan dał mi 800zadań ;/ kilka juz rozwiązałam. ale potrzebuje wiecej miec zadań rozwiązanych więc prosze by ktoś mi je pomógł rozwiązać.

np zadanie 1 w równoległoboku ABCD dane są wierzchołki A(-1;0) B(4;-5) D(-2;7). Wyznacz współrzędnr C i wkaż że równoległobok ABCD jest rombem.

zadanie 2 Wykaż że czworokąt ABCD o wierzchołkach A(-4;1) B(5;-2) C(7;2) D(-2;5) jest równoległobokiem.

zadanie 3 Napisz równanie okręgu opisanego na kwadracie ABCD wiedząc że B(4;-1) a D(-2;1)

Answer 1

z.1

A = (-1;0), B = (4; -5), D = (-2; 7)

Wektory

-->

AB

i

-->

DC  muszą byc równe, bo boki AB i CD  są równoległe i równe.

Niech C = (x; y)

Mamy

-->
AB = [4 -(-1); -5 - 0] = [ 5; - 5]

oraz

-->

DC = [ x - (-2); y - 7] = [ x + 2; y - 7 ]

Wektory są równe, gdy mają takie same współrzędne, zatem

x + 2 = 5         oraz  y - 7 = - 5

x = 5 - 2 = 3    oraz  y = - 5 + 7 = 2

zatem  C = ( 3; 2)

===================

I ABI^2 = 5^2 + (-5)^2 = 25 + 25 = 50 = 25*2

zatem

I AB I = 5 p(2)

oraz I CD I = 5 p(2)

-->

BC = [ 3 - 4; 2 - (-5)] = [-1; 7 ]

zatem

I BC I^2 = (-1)^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50

czyli IBC I = I AD I = 5 p(2)

Wszystkie boki tego równoległoboku są równe więc jest rombem.

=========================================================

z.2

A = ( -4; 1), B = (5; -2), C = (7; 2), D = ( -2 ; 5)

Czy  czworokąt ABCD jest równoległobokiem ?

Wystarczy sprawdzić czy wektory AB i DC są równe.

-->

AB = [ 5 - (-4); -2 - 1] = [ 9; - 3 ]

-->

DC = [ 7 - (-2); 2 - 5 ] = [ 9; - 3 ]

Można jeszcze dodatkowo sprawdzić czy wektory BC i AD są równe.

-->

BC = [ 7 - 5; 2 - (-2)] = [ 2; 4 ]

-->

AD = [ -2 - (-4); 5 - 1 ] = [ 2; 4]

Wektory AB i DC są równe czyli odcinki AB i CD  są równolegle i równe.

Podobnie - wektory BC i AD  są równe czyli odcinki BC i  AD są równolegle

i równe.

Zatem czworokąt ABCD jest równoległobokiem.

===============================================

 

z.3

B = (4; -1) , D = ( -2; 1) Odcinek BD jest przekątną kwadratu i zarazem

średnicą  okręgu opisanego na kwadracie ABCD.

Niech S  - środek odcinka BC czyli średnicy ( środek pkręgu opisanego)

S = ( (4 + (-2))/2 ; ((-1) + 1)/2 ) = ( 1; 0 )

I BS I = r  czyli  I BS I^2 = r^2

r^2 = ( 1 -4)^2 + (0 - (-1))^2 = (-3)^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10

Równanie okręgu  opisanego:

( x - 1)^2 + ( y - 0)^2 = 10

lub

(x -1)^2 + y^2 = 10

======================

Korzystamy z wzoru

(x -a)^2 + (y - b)^2 = r^2

gdzie S= (a, b) - środek okręgu  oraz  r - długość promienia okręgu.

===========================================================

 

Answer 2

zad.1

ABCD - równoległobok

A(-1;0)

B(4;-5)

D(-2;7)

C(x,y)

wiemy że równoległobok ma 2 pary boków równoległych

piszę równania na proste

prosta AB :

a=(Yb-Ya):(Xb-Xa)=(-5-0):(4+1)=-5:5=-1

f(x)=-x+b

f(-1)=0

0=1+b

b=-1

AB: f(x)=-x-1

teraz prosta CD:

wiemy, że jest ona równoległa do prostej AB, czyli ma taki sam współczynnik kierunkowy.

a=-1

f(x)=-x+b

wiemy że D(-2;7)

f(-2)=7

7=2+b

b=5

CD: f(x)=-x+5

teraz prosta AD:

a=(Ya-Yd):(Xa-Xd)=(0-7):(-1+2)=-7/1=-7

f(x)=-7x+b

D(-2;7)

f(-2)=7

7=-7*(-2)+b

7=14+b

b=-7

AD: f(x)=-7x-7

 

to teraz prosta BC:

jest równoległa do AD, czyli

a=-7

f(x)=-7x+b

B(4;-5)

f(4)=-5

-5=-28+b

b=23

BC: f(x)=-7x+23

 

proste AB i CD mają taki sam współczynnik kierunkowy czyli są równoległe

proste AD i BC mają taki sam współczynnik kierunkowy czyli są równoległe

czyli czworokąt ma 2 pary boków równoległych

czyli jest równoległobokiem

 

odległość punktu A od punktu D w dziedzinie wynosi 1 (jedna jednostka w lewo).

z tego można wywnioskować, że punkt C jest odległy od punktu B też o jedną jednostkę w lewo, czyli:

C(3;y)

C należy do prostej BC o równaniu

f(x)=-7x+23

liczę f(3)

f(3)=-21+23=2

czyli punkt C ma współrzędne C(3;2)

 

długość boku AB:

|AB|=√[(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²)]=√(25+25)=√50=5√2

długość odcinka CD:

|CD|=√[(Xc-Xd)²+(Yc-Yd)²]=√(25+25)=5√2

|AB|=|CD|

AB || CD

AD || CB

z tego wynika że

|AD|=|BC|

a z tego wynika że czworokąt ABCD jest rombem.

 

 

 

zad.2

A(-4;1)

B(5;-2)

C(7;2)

D(-2;5)

 

prosta AB:

a=(Yb-Ya):(Xb-Xa)=(-2-1):(5+4)=-3/9=-1/3

f(x)=-1/3 x +b

do wykresu nalezy pkt A (-4;1)

f(-4)=1

1=4/3 +b

1=1 1/3 b

b=-1/3

AB: f(x)=-1/3x-1/3

 

prosta CD:

a=(Yc-Yd):(Xc-Xd)=(2-5):(7+2)=-3/9=-1/3

f(x)=-1/3x+b

do wykresu nalezy pkt C(7;2)

f(7)=2

2=-7/3 + b

2=-2 1/3 +b

b=4 1/3

CD: f(x)=-1/3x+4 1/3

 

prosta AD:

a=(Yd-Ya):(Xd-Xa)=(5-1):(-2+4)=4/2=2

f(x)=2x+b

A(-4;1)

f(-4)=1

1=-8+b

b=9

AD: f(x)=2x+9

 

prosta BC:

a=(Yc-Yb):(Xc-Xb)=(2+2):(7-5)=4/2=2

f(x)=2x+b

C(7;2)

f(7)=2

2=14+b

b=-12

BC: f(x)=2x-12

 

proste AB i CD mają taki sam współczynnik kierunkowy czyli są równoległe

proste AD i BC mają taki sam współczynnik kierunkowy czyli są równoległe

czyli czworokąt ma 2 pary boków równoległych

czyli jest równoległobokiem

 

 

zad.3

 

B(4;-1)

D(-2;1)

odległość między tymi punktami jest przekątną kwadratu

D=√[(Xb-Xd)²+(Yb-Yd)²]=√(36+4)=√40=2√10

połowa przekątnej czyli promień okręgu opisanego wynosi √10

teraz trzeba znaleźć współrzędne środka kola

środek geometryczny pomiędzy punktami D i B jest w x=1 . x=1 jest argumentem środka koła.

teraz potrzebujemy równania prostej BD:

a=(Yb-Yd):(Xb-Xd)=(-2):(6)=-1/3

f(x)=-1/3+b

B(4;-1)

f(4)=-1

-1=-4/3 +b

-1=-1 1/3 +b

b=1/3

BD: f(x)=-1/3x+1/3

liczymy f(1)

f(1)=-1/3+1/3=0

czyli wspolrzedne srodka okregu

S(1;0)

teraz z łatwością piszemy równanie okręgu

(x-1)²+y²=10