Question

Mam dzisiaj do rozwiązania zadanie, którego polecenie jest w załączniku poniżej :)
Daje duużo punktów, ale wytłumaczcie wszystko po kolei co i jak robicie :)
Jeśli zrozumiem dam NAJLEPSZĄ :D

Liczę na was, po świętach mam z tego kartkówkę ;c a nic nie rozumiem :/
Zadanie 3.76 i 3.77 !!!!!!!!!!!!!

Answer 1

3.76
rozłóż na czynniki oznacza, że w wyniku musisz mieć mnożenie nawiasów i/lub niewiadomych i liczb. I w żadnym nawiasie nie będzie wyższej potęgi niż kwadrat.

żeby to zrobić szukasz w składnikach (elementach dodawanych) wspólnego dzielnika.
To może być liczba, niewiadoma, albo tak jak w tym zadaniu cały nawias.
a)
(a+7)x² + 4x(a+7) + 4(a+7) =
wspólnym czynnikiem jest (a+7), które wyciągamy przed nawias [w drugim nawiasie zapisujemy wynik dzielenia składników przez wspólny czynnik: (a+7)x²:(a+7)=x² ; 4x(a+7):(a+7)=4x ; 4(a+7):(a+7)=4 ]
=(a + 7)(x² + 4x + 4)=
Potem sprawdzamy, czy to co zostało nie da się rozłożyć, na czynniki z niższą potęgą przy niewiadomej. W tym przypadku mamy wzór skróconego mnożenia
(a+b)² = a²+2ab+b²  (x²+4x+4 = x²+2*x*2+2²)
Stosując go otrzymujemy:
= (a + 7)(x + 2)²
Na upartego można by to zapisać jako (a+7)(x+2)(x+2), ale nie jest to konieczne, bo potęga oznacza mnożenie tych samych czynników, czyli iloczyn.
b)
wspólnym czynnikiem jest (3-b), a x²+6x+9 = x² + 2*x*3 + 3²
(3-b)x² + 6(3-b)x + 9(3-b) = (3 - b)(x² + 6x + 9) = (3 - b)(x+3)²
c)
wspólnym czynnikiem jest (c - 2) więc (pamiętając, że wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias polega na dzieleniu, więc nie może zostać 0) mamy:
(c-2)x² - 2(c-2)x + (c-2) = (c-2)(x² - 2x + 1) = (c - 2)(x - 1)²
tym razem skorzystaliśmy ze wzoru (a-b)² = a² - 2ab +b²  (x²-2x+1=x² - 2*x*1 + 1²)
d)
Na pierwszy rzut oka nie widać wspólnego składnika, bo trzeci nawias jest inny. ale możemy go uprościć wyciągając z niego czwórkę przed nawias: 4(4y+20)=4*4(y+5)=16(y+5)
(y+5)x² - 8x(y+5) + 4(4y+20) = (y+5)x² - 8x(y+5) + 4*4(y+5) =(y+5)x² - 8x(y+5) + 16(y+5) = (y+5)(x² - 8x + 16) = (y + 5)(x - 4)² 
e)
(x - 1)x² - 12x(x-1) + 6(6x-6) = (x - 1)x² - 12x(x-1) + 6*6(x-1) = (x - 1)x² - 12x(x-1) + 36(x - 1) = (x - 1)(x² - 12x + 36) = (x - 1)(x - 6)²
f)
teraz mamy dwa nawiasy do uproszczenia. z pierwszego wyciągamy 2 a z drugiego x  [ 9(8-2x) = 9x*2(4-x)  ; 81x (4x-x²) = 81x*x(4-x) ]
(4 - x) + 9x(8 - 2x) + 81x(4x - x²) = (4 - x) + 18x(4 - x) + 81x²(4 - x) = (4 - x)(1 + 18x + 81x²) = (4 - x)(1 + 9x)²
[ 1+ 18x + 81x² = 1+ 2*1*9x + (9x)² ]
g)
mamy sumę tylko dwóch składników, ale zasada jest ta sama. wyciągamy wspólny czynnik przed nawias, a w nawiasie wpisujemy sumę tego co zostaje
(1+ 10x)(x + 3) + 25x²(x + 3) = (x + 3)(1 + 10x + 25x²) = (x + 3)(1+ 5x)²
h)
(x² - 14x)(2x + 1) + 49(2x + 1) = (2x + 1)(x² - 14x + 49) = (2x + 1)(x - 7)²

3.77
Mam nadzieję, że ogólne zasady rozwiązywania równań znasz.
Te różnią się tylko tym, że można wykorzystać w nich wzory skróconego mnożenia.
Dla przypomnienia:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a - b)(a + b)

a)
x² - 4x + 4 = 0
(x - 2)² = 0  ⇔  (x - 2) = 0   (kwadrat jest zerem jeśli liczba podnoszona do kwadratu jest zerem)
 x - 2 = 0
x = 2

b)
x² - 9 = 0
x² - 3² = 0
(x - 3)(x + 3) = 0   iloczyn jest zerem jeśli jeden z czynników jest zerem
x - 3 = 0    lub  x + 3 = 0
 x = 3        lub    x = - 3

c)
 49 + 14x + x² = 0
 (7 + x)² = 0   ⇔   (7 + x) = 0
 7 + x = 0
  x = - 7

d)
0,25x² - 1 = 0
(0,5x)² - 1² = 0
(0,5x - 1)(0,5x + 1) = 0
0,5x - 1 = 0        ∨    0,5x + 1 = 0
0,5x = 1  / * 2     ∨   0,5x = - 1  / * 2
  x = 2            ∨       x = - 2
jeśli nie lubisz ułamków albo nie potrafisz rozpoznać w nim kwadratu to proponuję wersję alternatywną rozwiązania:
0,25x² - 1 = 0  / *4
 x² - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
x - 2 = 0    ∨    x + 2 = 0
  x = 2      ∨      x = - 2
Jak widać nie wpływa to na wynik końcowy

e)
tu żeby skorzystać ze wzorów trzeba najpierw uporządkować równanie i zmienić znak przy najwyższej potędze na dodatni
10x - x² = 25
10x - x² - 25 = 0
- x² + 10x - 25 = 0  / * (-1)
 x²  - 10x + 25 = 0
  (x - 5)² = 0    ⇔ (x - 5) = 0
  x - 5 = 0
   x = 5

f)
25x² - 81 = 0
(5x)² - 9² = 0
(5x - 9)(5x + 9) = 0
5x - 9 = 0        ∨      5x + 9 = 0
 5x = 9  / : 5    ∨        5x = - 9  / : 5
 x =        ∨       x =
  x = 1      ∨      x = - 1

g)
-16x = 64x² + 1
- 64x² - 16x -1 = 0  /* (-1)
64x² + 16x + 1 = 0
(8x + 1)² = 0    ⇔  (8x + 1) = 0
8x + 1 = 0
8x = - 1  / : 8
 x = -

h)
w tym przykładzie składniki można zamienić miejscami (0,49 - 0,36x²) albo pomnożyć przez -1, żeby był wzór skróconego mnożenia. ja skorzystam z drugiej opcji i dodatkowo od razu pozbędę się ułamków
- 0,36x² + 0,49 = 0   / * (-100)
36x² - 49 = 0
(6x - 7)(6x + 7) = 0
6x - 7 = 0      ∨    6x + 7 = 0
6x  = 7 / : 6   ∨    6x = - 7 / : 6 
  x =          ∨     x =
 x = 1        ∨      x = - 1

Przy opcji pierwszej i bez pozbywania się ułamków, rozwiązanie wyglądałoby tak:
0,49 - 0,36x² = 0
 (0,7 - 0,6x)(0,7 + 0,6x) = 0
0,7 - 0,6x = 0          ∨         0,7 + 0,6x = 0
- 0,6x = - 0,7 / : (-0,6)    ∨  0,6x = - 0,7 / : 0,6

       ∨