Question

Wzory skróconego mnożenia zadanie 3,73 i 3,74 ;)

Answer 1

3.73
We wszystkich przykładach korzystamy ze wzoru:  A² - B² = (A - B)(A + B)
Tylko A i B są rozbudowane. Będę ci je wypisywać w nawiasach i zrobiłam dużymi żeby się nie myliły

a)        { A=x+y , B = a } 
(x + y)² - a²  = [(x + y) - a] [(x + y) + a] = (x + y - a)(x + y + a)

b)   { A=x  , B=a+b }  (uwaga na znaki!)
x² - (a + b)² = [x - (a + b)] [x + (a + b)] = (x - a - b)(x + a + b)

c)  { A=3-x , B=5}
(3 - x)² - 25 = (3 - x)² - 5² = [(3 - x) - 5] [(3 - x) + 5] = (3 - x - 5)(3 - x + 5) =
= (- x - 2)(- x + 8) = [-(x + 2)] [-(x - 8)] = (x + 2)(x - 8)      

  {wyciągnęłam "-" z obu nawiasów, bo nie lubię minusowych x-ów, a ponieważ to jest mnożenie to "-" razy "-" daje "+" . w rozkładaniu na czynniki nie jest konieczne, ale porządniej wygląda i ułatwia później rozwiązywanie równań}

d)  { A=2 ,  B=a-1 }   (znaki!)
4 - (a - 1)² = 2² - (a - 1)² = [2 - (a - 1)] [2 + (a - 1)] = (2 - a + 1)(2 + a - 1) =
= (3 - a)(1 + a) = - (a - 3)(a + 1)           

jeśli w nawiasie jest odejmowanie i przestawimy liczby to zmieni się znak nawiasu (skrócona wersja wyciągania minusa przed nawias). Zamieniłam miejscami a i 3 w pierwszym nawiasie, stąd minus przed całością. W dodawaniu nie ma takich bajerów, można dowolnie przestawiać i nic się nie dzieje.

e)  { A =5a , B = b-2 } 
25a² - (b - 2)² = (5a)² - (b - 2)² = [5a - (b - 2)] [5a + (b - 2)] =
= (5a - b + 2)(5a + b - 2)

f) { A = 3x  , B = x-2 }
9x² - (x - 2)² = (3x)² - (x - 2)² = [3x - (x - 2)] [ 3x + (x - 2)] =
=(3x - x + 2)(3x + x - 2) = (2x + 2)(4x - 2) = [2(x+1)]·[2(2x-1)] = 4(x + 1)(2x - 1)

to samo co z minusami w c). nie jest konieczne, ale ja tak wolę. I nie wiem jak masz w odpowiedziach 

g)  { A=2x+1 , B = x+5 }
(2x + 1)² - (x + 5)² = [(2x + 1) - (x + 5)] [(2x + 1) + (x + 5)] =
= (2x + 1 - x - 5)(2x + 1 + x + 5) = (x - 4)(3x + 6) = 3(x - 4)(x + 2)

h)  { A=x-7  , B=4-3x }
(x - 7)² - (4 - 3x)² = [(x - 7) - (4 - 3x)] [(x - 7) + (4 - 3x)] =
= (x - 7 - 4 + 3x)(x - 7 + 4 - 3x) = (4x - 11)(- 2x - 3) = - (4x -11)(2x + 3)

(jak wyciągasz minus z nawiasu, to niezależnie z którego to nawiasu, zawsze ląduje przed całością)

i)  { A=5(x-1)  ,  B=3(2+x) } 
25(x - 1)² - 9(2 + x)² = 5²(x - 1)² - 3²(2 + x)² = [5(x - 1)]² - [3(2 + x)]² =
= [5(x - 1) - 3(2 + x)] [5(x - 1) + 3(2 + x)] = (5x - 5 - 6 - 3x)(5x - 5 + 6 + 3x) =
= (2x - 11)(8x + 1)

nie wiem jak stoisz z działaniami na potęgach, dlatego początek jest krok po kroku. Jak coś ci się wydaje oczywiste to w obliczeniach możesz to pominąć (zrobić tylko w głowie)

j)  { A=2(x+3)  ,  B=7(1-x) }
4(x + 3)² - 49(1 - x)² =  2²(x + 3)² - 7²(1 - x)² = [2(x + 3)]² - [7(1 - x)]² =
= [2(x + 3) - 7(1 - x)] [2(x + 3) + 7(1 - x)] = (2x + 6 - 7 + 7x)(2x + 6 + 7 - 7x) =
= (9x -1)(- 5x + 13) = - (9x - 1)(5x - 13)

3.74
jak w 3.76 szukasz wspólnych dzielników wyciągasz przed nawias a potem sprawdzasz czy z nawiasem da się jeszcze coś zrobić, (np wykorzystać wzór skróconego mnożenia, albo może jeszcze coś wyłączyć)
 I koniecznie pamiętaj, ze wyciąganie przed nawias polega na dzieleniu: najmniejsze co może zostać to 1. Nigdy 0

a)
2x³ - 2x = 2x(x² - 1) = 2x(x - 1)(x + 1)
b)
16x - 9x³ = x(16 - 9x²) = x[4² - (3x)²] = x(4 - 3x)(4 + 3x)
c)
x³ - 4x² + 4x = x(x² - 4x + 4) = x(x - 2)²
d)
x³ + 2x² + x = x(x² + 2x + 1) = x(x + 1)²
e)
36y + 12xy + x²y = y(36 + 12x + x²) = y(6² + 2*6*x + x²) = y(6 + x)²
f)
8yx² - 8yx + 2y = y(8x² - 8x + 2) = 2y(4x² - 4x + 1) = 2y(2x - 1)²
g)
4x² - 40x + 100 = 4(x² - 10x + 25) = 4(x - 5)²
h)
5x³ - 90x² + 405x = 5x(x² - 18x + 81) = 5x[x² - 2*x*9 + 9²] = 5x(x - 9)²