Question

Zadanie 1
Zamień na postać iloczynową:
f(x) = 3x² + 5x -2


Zadanie 2
Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na zadanym przedziale:
f(x) = 3x² + 6x + 12, x∈<-4,2>



Zadanie 3
Rozwiąż:
a) x² - 3x + 2 ≥ 0
b) -x² + 6x -9 > 0


Zadanie 4
Funkcja kwadratowa o współczynniku kierunkowym a = -2 ma wierzchołek w punkcie (3;2).
a) Podaj miejsca zerowe funkcji
b) Podaj miejsca przecięcia się funkcji z prostą x = -8.
c) Podaj miejsca przecięcia się funkcji z prostą y = -1
d) Podaj wzór funkcji w postaci iloczynowej, kanonicznej i ogólnej.

Answer 1

1.
a=3
b=5
c=-2

Δ=b²-4ac=5²-4*3*(-2)=25+25=49
√Δ=√49=7

x₁=-b-√Δ/2a=-5-7/2*3=-12/6=-2
x₂=-b+√Δ/2a=-5+7/2*3=2/6=⅓

y=a(x-x₁)(x-x₂)
y=3(x+2)(x-⅓)

2.
a=3
b=6
c=12

p=-b/2a=-6/2*3=-6/6=-1

wartość największa:
f(-4)=3*(-4)²+6*(-4)+12=48-12=36
wartość najmniejsza:
f(2)=3*2²+6*2+12=12+12+12=36

3.
a)
a=1
b=-3
c=2

Δ=b²-4ac=(-3)²-4*1*2=9-8=1
√Δ=1

x₁=-b-√Δ/2a=-(-3)-1/2*1=2/2=1
x₂=-b+-√Δ/2a=-(-3)+1/2*1=4/2=2

x∈ (-∞,1>u<2,+∞)

b)
a=-1
b=6
c=-9

Δ=b²-4ac=6²-4*(-1)*(-9)=36-36=0
√Δ=0

x₁=x₂=-b-√Δ/2a=-6-0/2*(-1)=-6/-2=3

x∈ Ф

Answer 2

Zadanie 1
Zamień na postać iloczynową:
f(x) = 3x² + 5x -2
Δ = 5² -4*3*(-2) = 25 + 24 = 49
√Δ = √ 49 = 7
x1 = ( -5 -7): 2*3 = (-12): 6 = -2
x2 = (-5 +7) : 2*3 = 2 : 6 = 1/3

f(x) = a(x -x1)( x-x2)
f(x)= 3( x +2)(x -1/3)

Zadanie 2
Znajdź największą i najmniejszą wartość
funkcji na zadanym przedziale:
f(x) = 3x² + 6x + 12, x∈<-4,2>

Obliczam wartości na końcach przedziału x∈<-4,2>
f(-4) = 3*(-4)² + 6*(-4) +12 = 48 -24 +12 = 36
f(2) = 3*2² + 6*2 + 12 = 12 + 12 +12 = 36

Dodatkowo obliczam wierzchołek paraboli:
W= (xw, yw)

xw = -b: 2a
xw = (-6) : 2*3
xw = -1

f(-1) = 3*(-1)² + 6*(-1) +12
f(-1) = 3 -6 +12
f(-1) = 9

Ostatecznie:
f(-4) = 36 max.
f(2) = 36 max.
f(-1) = 9 min.

Zadanie 3
Rozwiąż:
a) x² - 3x + 2 ≥ 0
Δ = (-3)² -4*1*2 = 9 -8 =1
√Δ=√1 =1
x1 = (3 -1): 2*1 = 2 :2 = 1
x2 = (3 +1):2*1 = 4 :2 = 2

x∈ ( -∞, 1> ∨ < 2, +∞)

b) -x² + 6x -9 > 0
Δ = 6² -4*(-1)*(-9) = 36 -36 = 0
√Δ = 0
x1 = x2 = ( -6): 2*(-1) = (-6) : (-2) = 3

Brak rozwiązania, bo parabola ma 1 punkt wspólny z osią Ox i ramiana paraboli skierowane są w dół
Nierówność jest mniejsza od zera dla x ∈ R - {3}



Zadanie 4
Funkcja kwadratowa o współczynniku kierunkowym a = -2 ma wierzchołek w punkcie (3;2).
a) Podaj miejsca zerowe funkcji
b) Podaj miejsca przecięcia się funkcji z prostą x = -8.
c) Podaj miejsca przecięcia się funkcji z prostą y = -1
d) Podaj wzór funkcji w postaci iloczynowej, kanonicznej i ogólnej.

y = a(x -p)² + q
y = -2(x -p)² +q
W =(p,q)
W = (3,2)

p = 3
q = 2
y = -2(x -3)² +2
y = -2(x² -6x +9) +2
y = -2x² +12x -18 +2
y = -2x² +12x -16
a)
miejsca zerowe funkcji

y = o
-2x² +12x -16 = 0 /:(-2)
x² -6x +8 = 0
Δ = (-6)² -4*1*8 = 36 -32 = 4
√Δ = √4 = 2
x1 = (6 -2): 2*1 = 4 : 2 =2
x2 = (6 +2) : 2*1 = 8 : 2 = 4

b) miejsca przecięcia się funkcji z prostą x = -8.
y = -2x² +12x -16
y = -8

-2x² +12x -16 = -8
-2x² +12x -16 +8 = 0
-2x² +12x -8 = 0 /:(-2)
x² -6x +4 = 0
Δ = (-6)² -4*1*4 =36 -16 = 20
√Δ= √20 = √4*√5= 2√5
x1 = (6 -2√5): 2*1 = 3 - √5
x2 = (6 +2√5): 2*1 = 3 + √5

y1 = -8
y2 = -8

Prosta y = -8 ma 2 punkty wspólne z parabolą
P1=( 3 - √5 , -8)
P2 =( 3 + √5, -8)

c) miejsca przecięcia się funkcji z prostą y = -1
y = -1
y = -2x² +12x -16

-2x² +12x -16 = -1
-2x² +12x -16 +1 = 0
-2x² +12x -15 = 0
Δ = 12² - 4*(-2)*(-15) = 144 -120 = 24
√Δ = √24 = √4*√6= 2√6

x1 = (-12 -2√6): 2*(-2) = (-12 -2√6): (-4) = 3 + 1/2*√6
x2 = (-12 +2√6): 2*(-2) = (-12 +2√6): (-4) = 3 - 1/2*√6

y1 = -1
y2 = -1

Prosta y = -1 ma 2 punkty wspólne z parabolą
P1 = (3 + 1/2*√6, -1)
P2 = (3 - 1/2*√6, -1)

d) Podaj wzór funkcji w postaci iloczynowej, kanonicznej i ogólnej
y = -2(x -3)² +2 - postać kanoniczna
y = -2x² +12x -16 - postać ogólna
y = a(x -x1)(x -x2) - postać iloczynowa
y = -2(x -2)(x-4) - postać iloczynowa