Question

Zadanie 1.
Trójmian -2x² + 3x -1 w postaci iloczynowej to:
a) 2 (x -½)(x - ½)
b) -2 (x+1)(x+½)
c) -2(x-1)(x-½)
d) -2(x-1)(x+½)
Zadanie 2.
Wskaż odpowiednie równanie do zdania : Długość przekątnej kwadratu jest o 3cm większa od długości jego boku, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.
a) a²+a² = (a + 3)²
b) a²-a+3=0
c) 2a²+a+3=0
d)a²+a²=a²+3a+9
Zadanie 3.
Rozwiązaniem nierówności 7<5x-3x² jest zbiór:
a(-3;5)υ(7;[nieskończoność])
b) (-7;5) U(3; [nieskończoność])
c) R
d) x∈Ф
Zadanie 4.
Rozwiązaniem równania (7x+2)²-2(x-5)=(3x+4)² są liczby:
a)¼ i ⅕
b)-¼ i⅕
c)0 i 2
d) -¼ i -⅕
Zadanie 5.
Po wykonaniu działania (2x³ +3x-7)(-5x³ -3x+2) otrzymamy wielomian:
a) -10x⁶ - 21x⁴ +39x³ -9x²+ 27x-14
b)-10x⁶-21x⁴+39x³+9x²+27x-14
c)-10x⁹-21x⁴+39x³-9x²+27x-14
d)-10x⁹-9x⁴+39x³-9x²-14
Zadanie 6.
Po rozłożeniu wielomianu x³+3x²-4x-12 na czynniki ma on postać:
a)(x+3)(x-3)(x²-4)
x)(x+2)(x-2)(x-3)
c)(x+2)(x-2)(x+3)
d)(x-2)²(x+3)
Zadanie 7.
Rozwiązaniem nierówności (x-3)(x+2)(x-1)²>0 jest zbiór:
a) (-[nieskończoność];-2)U(1;3)
b) (-2;2)\{1}
c) (-2;1)U(3;[nieskończoność]
d) (-[nieskończoność];-2)U(3;[nieskończoność])
Zadanie 8.
Reszta z dzielenia wielomianu x⁴+3x+5 przez dwumian x+3 jest równa:
a) 77
b) -85
c)95
d)0
Zadanie 9.
Wyznacz współczynniki b i c trójmianu kwadratowego f(x)=2x²+bx+c, widząc, że pierwiastkami tego trójmianu są liczby -2 i 1.

Answer 1

Zadanie 1.
Trójmian -2x² + 3x -1 w postaci iloczynowej to:
a) 2 (x -½)(x - ½)
b) -2 (x+1)(x+½)
c) -2(x-1)(x-½)
d) -2(x-1)(x+½)

f(x) = -2x² + 3x -1
Δ = 3² -4*(-2)*(-1)= 9 -8 =1
√Δ =√1 = 1
x1 = (-3 -1):2*(-2) = (-4):(-4) = 1
x2 = (-3+1):2*(-2) = (-2) : (-4) = 1/2

f(x) = a(x -x1)(x-x2) -postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
f(x) = -2(x-1)(x-½) ( odp. c)

Zadanie 2.
Wskaż odpowiednie równanie do zdania : Długość przekątnej kwadratu jest o 3cm większa od długości jego boku, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.
a) a²+a² = (a + 3)²
b) a²-a+3=0
c) 2a²+a+3=0
d)a²+a²=a²+3a+9

d = a + 3
d = a√2 - wzór na przekatną kwadratu
a√2 = a +3 /()²
(a√2)² = (a +3)²
a² *2 = (a +3)²
a² + a² = (a +3)² ( odp.a)

Zadanie 3.
Rozwiązaniem nierówności 7<5x-3x² jest zbiór:
a(-3;5)υ(7;[nieskończoność])
b) (-7;5) U(3; [nieskończoność])
c) R
d) x∈Ф

7 < 5x-3x²
5x-3x² > 7
-3x² +5x -7 > 0
Δ = 5² -4*(-3)*(-7) = 25 - 84 = - 59
Δ < 0 , wiec brak jest pierwiastków tzn. wykres nie przecina osi OX i ze wzgleduna ujemny współczynnik przy x² wykres leży poniżej osi OX ramionami parabola skierowana jest w dół. Wobec tego nierwność jest ujemna dla kazdej liczby rzeczywistej
Rozwiazaniem jest zbiór pusty ( x ∈ Ф ) odp.d)

Zadanie 4.
Rozwiązaniem równania (7x+2)²-2(x-5)=(3x+4)² są liczby:
a)¼ i ⅕
b)-¼ i⅕
c)0 i 2
d) -¼ i -⅕

(7x+2)²-2(x-5)=(3x+4)²
49x² +28x +4 -2x +10 = 9x² +24x +16
49x² +26x +14 -9x² -24x -16 = 0
40x² +2x -2 = 0 /:2
20x² +x -1 = 0
Δ = 1² -4*20*(-1) = 1 + 80 = 81
√Δ = √81 = 9
x1 = (-1-9):2*20 = (-10): 40 =-1/4
x2 = (-1 +9): 2*20 = 8 : 40 = 1/5

Odp.x = -1/4 lub x = 1/5 (odp.b)

Zadanie 5.
Po wykonaniu działania (2x³ +3x-7)(-5x³ -3x+2) otrzymamy wielomian:
a) -10x⁶ - 21x⁴ +39x³ -9x²+ 27x-14
b)-10x⁶-21x⁴+39x³+9x²+27x-14
c)-10x⁹-21x⁴+39x³-9x²+27x-14
d)-10x⁹-9x⁴+39x³-9x²-14

(2x³ +3x-7)(-5x³ -3x+2)=
= -10x⁶ -6x⁴+4x³ -15x⁴-9x² + 6x +35x³ +21x -14=
= -10x⁶ -21x⁴ +39x³ -9x² +27x -14 (odp. a)

Zadanie 6.
Po rozłożeniu wielomianu x³+3x²-4x-12 na czynniki ma on postać:
a)(x+3)(x-3)(x²-4)
x)(x+2)(x-2)(x-3)
c)(x+2)(x-2)(x+3)
d)(x-2)²(x+3)

W(x) = x³+3x²-4x-12
W(x) = x²(x +3) -4(x +3)
W(x) = (x+3)( x² -4)
W(x) = (x +3)( x-2)(x +2) (odp.c)

Zadanie 7.
Rozwiązaniem nierówności (x-3)(x+2)(x-1)²>0 jest zbiór:
a) (-[nieskończoność];-2)U(1;3)
b) (-2;2)\{1}
c) (-2;1)U(3;[nieskończoność]
d) (-[nieskończoność];-2)U(3;[nieskończoność])

(x-3)(x+2)(x-1)²>0
x-3 = 0, lub x +2 = 0 lub x-1 = 0
x = 3, lub x = -2, lub x = 1(II pierwiastek podwójny)
Zaznaczam pierwiastki na osi Ox i rysuje krzywa rozpoczynajac od prawej strony od góry ( nad osią OX) i przechocząca przez x =3 na dół i dochodzaca do x = 1 (podwójny pierwistek),więc nie przecina osi Ox tylko odbija w dółi nastepnie przecina oś OX w punkcie x = -2 i przechodzi nad oś OX
i zaznaczam przedziały dla których nierówność jest wieksza od zera
x ∈ (-∞; 2) ∨ (3; +∞) (odp.d)


Zadanie 8.
Reszta z dzielenia wielomianu x⁴+3x+5 przez dwumian x+3 jest równa:
a) 77
b) -85
c)95
d)0

Jeżeli wielomian dzielimy przez x +3, tzn. że pierwiastkiem równania jest
x = -3
Obliczam W(-3) = (-3)⁴+3*(-3)+5
W(-3) = 81 -9 +5
W(-3) = 77
To znaczy że reszta z dzielenia wielomianu x⁴+3x+5 przez dwumian (x+3) jest liczba 77 ( odp. a)


Zadanie 9.
Wyznacz współczynniki b i c trójmianu kwadratowego f(x)=2x²+bx+c, widząc, że pierwiastkami tego trójmianu są liczby -2 i 1.

f(x) =2x²+bx+c
f(x) = a( x -x1)(x-x2) - postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
x1 = -2
x2 = 1
f(x) = 2(x +2)( x -1)
f(x) = 2(x² -x +2x -2)
f(x) = 2(x² +x -2)
f(x) = 2x² +2x -4
a = 2
b = 2
c = -4

Answer 2

Zadanie 1.
f(x) = -2x² + 3x -1
Δ = 3²-4*(-2)*(-1) = 9-8 = 1
√Δ = 1
x1 = (-3 -1)/2*(-2) = (-4)/(-4) = 1
x2 = (-3+1)/2*(-2) = (-2)/(-4) = 1/2
f(x) = -2(x-1)(x-½)

Odp: C

Zadanie 2.
d = a+3
d = a√2 (przekatna kwadratu)
a√2 = a+3 /()²
(a√2)² = (a+3)²
a²*2 = (a+3)²

a²+a² = (a+3)²
Odp: A

Zadanie 3.
7 < 5x-3x²
-3x²+5x-7 > 0
Δ = 5²-4*(-3)*(-7) = 25-84 = -59
Δ < 0

Nierwność jest ujemna dla kazdej liczby rzeczywistej.
Odp: D

Zadanie 4.
(7x+2)²-2(x-5)=(3x+4)²
49x²+28x+4-2x+10 = 9x²+24x+16
49x²+26x+14-9x²-24x-16 = 0
40x²+2x-2 = 0 /:2
20x²+x-1 = 0
Δ = 1² -4*20*(-1) = 1+80 = 81
√Δ = √81 = 9
x1 = (-1-9)/2*20 = (-10)/40 = -1/4
x2 = (-1 +9)/2*20 = 8/40 = 1/5
Odp: B

Zadanie 5.
(2x³ +3x-7)(-5x³ -3x+2) = -10x⁶-6x⁴+4x³-15x⁴-9x²+6x+35x³+21x-14 = -10x⁶ -21x⁴+39x³-9x²+27x-14

Odp: A

Zadanie 6.
W(x) = x³+3x²-4x-12
W(x) = x²(x+3)-4(x+3)
W(x) = (x+3)( x²-4)
W(x) = (x+3)( x-2)(x+2)

Odp: C

 

Zadanie 7.
(x-3)(x+2)(x-1)²>0
x-3 = 0, lub x +2 = 0 lub x-1 = 0
x = 3, lub x = -2, lub x = 1

wykres zaczynamy od góry od prawej strony, przechodzi przez 3 na dół, odbija się od 1, przechozi przez -2
x ∈ (-∞; 2) ∨ (3; +∞)

Odp: D

Zadanie 8.
x = -3
Obliczam W(-3) = (-3)⁴+3*(-3)+5
W(-3) = 81-9+5 = 77

Odp: A

Zadanie 9.
f(x) =2x²+bx+c
f(x) = a(x-x1)(x-x2)
x1 = -2
x2 = 1
f(x) = 2(x+2)(x-1)
f(x) = 2(x²-x +2x-2)
f(x) = 2(x²+x-2)
f(x) = 2x²+2x-4
a = 2
b = 2
c = -4