Question

Zadania dotyczą tematu Ciąg Arytmetyczny
Prosiłbym o wytłumaczenie każdego zadania tzn. opis do każdego. Najlepiej krótko krok po kroku.
zadanie 1
Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego, jeżeli pierwszy wyraz ma wartość 7, a dwudziesty dziewiąty 133. Oblicz sume kolejnych wyrazów tego ciągu.
zad 2
Wyznacz długość ciągu arytmetycznego, jeżeli pierwszy wyraz wynosi: 10, n-ty wyraz wynosi: -28, a różnica: -2.
zad 3
Suma czwartego i siódmego wyrazu ciągu arytmetycznego wynosi 27, suma dwóch ostatnich wyrazów wynosi 115, a siódmy wyraz jest równy 30. Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wyrazów tego ciągu.
zad 4
Suma trzeciego i sódmego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego równa jest 10. Znajdź sume początkową dziewięciu wyrazów tego ciągu.
zadanie 5
Dla jakich wartości x liczby: 2x, x² i 24 tworzą ciąg arytmetyczny ?

Z góry dziękuje !!!!

Answer 1

Zad 1.
Z treści wynika że różnica r = ?
pierwszy wyraz a₁=7
dwudziectydziewiąty wyraz a29 = 133
ze wzoru an=a1 +(n-1)r na nty wyraz ciągu, mamy:
a29 = a1+28r
podstawiając:
133=7 + 28r
-28r = 7 - 133
-28r = -126 /:(-28)
r = 4,5
nie wiem sumę ilu wyrazów ciągu należy obliczyć, ale podstawiamy do wzoru:
S={(a1+an)*n}/2 - to co w klamerkach to w liczniku
gdzie a1 - pierwszy wyraz
an - ostatni,
n - ilość wyrazów
Zad2.
Dane:
a1=10,
an=-28
r = -2
Wyznacz długość ciągu arytmetycznego, czyli n=?
Ze wzoru ogólnego:
an=a1+(n-1)r
podstawiamy:
-28 = 10 + (n-1)*(-2)
-28=10-2n+2
-28 = 12 - 2n
2n=12+28
2n=40 /:2
n=20-taka jest długość ciągu, tyle ma wyrazów

zad3
dane:
a4+a7 = 27
a7=30
an+a(n-1)=115
n-1, n - kolejne liczby naturalne, to n-1 jest w indekcie dolnym jako numer wyrazu
podstawiając:
a4 +30=27
a4=-3 i a7 = 30
Korzystając ze wzoru ogólnego an =a1 + (n-1)r
otrzymamy

a4=a1+3r=-3
a7=a1+6r = 30
powstaje układ równań, który rozwiązujemy metodą przeciwnych współcznynników, czyli pierwswze równanie mnożę przez -1 i dodaję do drugiego równania:
-a1 - 3r = 3
a1 + 6r = 30
-a1 -3r +a1 + 6r = 3+30
3r = 33 /:3
r = 11
obliczam 1 wyraz
a1 + 3r = -3
a1 + 33 = -3
a1=-36
zostało do obliczenia n
an +a(n-1) = 115
korzystając ze wzoru odólnego otrzymamy:
a1+(n-1)r + a1 + (n-1-1)r = 115
podstaewiając:
-36 +)n-1)*11 -36+(n-2)*11 = 115
-36 +11n-11-36+11n - 22 = 115
22n = 115+22+11+36+36
22n=220 /:22
n=10- tyle jest wyrazów
zad4
dane :
a3+a7=10
do obliczenia S9
korzystając z tego wzoru ogólnego mamy:
a1+2r +a1+6r = 10
2a1+8r = 10

przekształcając wzór na sumę:
S9 = {(a1+a9)*n}/2
podstawiając za a9=a1+8r - ze wzoru ogólneego
S9={(a1+a1+8r)*9}/2
s9={(2a1+8r)*9}/2 ponieważ 2a1+8r = 10
to
s9={10*9}/2
s9 = 45
zad5
ponieważ różnica w ciągu arytmerycznym jest stała to
x2-2x = 24 - x2
x2 - 2x - 24 +x2 = 0
2x2-2x - 24 = 0 /2
x2 - x - 12 = 0
a=1
b=-1 c = -12
delta=1+48=49
pierwiastek z delty = 7
x1=(1-7)/2=-6/2=-3
x2=(1+7)/2=8/2=4
czyli dla x=-3 lub x=4