Question

Równania wielomianowe
3) Rozwiąż równanie:
a) x³ = 8 g) 5x³ - 525 = 0
b) 216x³ - 1 = 0 h) x³ - x² = 0
c) x^4 = 16 i) x^5 - 8x² = 0
d) (x - 3)³ = 343
e) 5x³ - 525 = 0
f) (5x - 7)² = 9

4) Rozwiąz równanie rozkładając jego lewa stronę na czynniki,
gdy jednym z tych czynników jest dwumian podany obok.
a) x³ - 5x² + 7x - 3 = 0, x - 1
b) x³ - 6x² - 9x + 14 = 0, x +2
c) 2(x³ - 2x² - 5x + 6) = 0, x - 3
d) x³ - 10x² + 27x - 18 = 0, x - 3

5) Rozwiąz równanie:
a) x³ - 2x² = 5x - 6
b) x³ - x² - 11x = x² - 12
c) x³ - 6x = 4
d) x³ - 3x = 2
e) x³ - 7x² +15x = 9
f) x³ = 5x - 4

Answer 1

Równania wielomianowe
3) Rozwiąż równanie:
a) x³ = 8
x³ -8 =0
x³ -2³ =(x-2)(x²+2x +4) = 0
Ponieważ 2 część równania jest dodatnia dla każdej liczby R, więc rozwiazuje tylko (x-2) = 0
x = 2

b) 216x³ - 1 = 0
(6x)³ -1 = (6x-1)(36x² + 6x +1)= 0
Podobnie jak wyżej
6x -1 = 0
6x = 1
x = 1/6
c) x^4 = 16
x⁴-16 - 0
( x² -4)(x² + 4) = 0
(x -2)(x +2) (x² + 4) = 0

(x² + 4) jest dodatnie dlla kazdego x więc pomijam
x -2 = 0 lub x+2 = 0
x = 2 lub x = -2

d) (x - 3)³ = 343
(x- 3)³ - 343 = 0
( x - 3)³ - 7³ = 0
(x-3 -7)[ (x-3)² + 7(x-3) + 49)= 0
(x -10) [ x² -6x +9 +7x -21 + 49) = 0
(x-10) [ x² +x + 37] = 0
[ x² +x + 37] jest dodatnie dlla kazdego x więc pomijam

x-10 = 0
x = 10
e) 5x³ - 525 = 0 /:5
x³ - 105 = 0
x = ∛ 105

f) (5x - 7)² = 9
(5x - 7)² - 9 = 0
[(5x - 7) -3]*[ (5x -7) +3]= 0
[ 5x -10]* [ 5x -4] = 0
5x-10 = 0 lub 5x -4 = 0
5x = 10 lub 5x = 4
x = 2 lub x = 4/5

g) 5x³ - 525 = 0
jak e)

h) x³ - x² = 0
x²( x -1) = 0
x² = 0 lub x - 1 = 0
x = 0 lub x = 1

i) x^5 - 8x² = 0
x²( x³ - 8) = 0
x² ( x -2)( x² + 2x + 4) = 0

x² + 2x + 4 jest dodatnie dla kazdego x więc pomijam
x² = 0 lub x-2 = 0
x = 0 lub x = 2



4) Rozwiąz równanie rozkładając jego lewa stronę na czynniki,
gdy jednym z tych czynników jest dwumian podany obok.
a) x³ - 5x² + 7x - 3 = 0, x - 1
(x³ - 5x² + 7x - 3 ) : (x-1)= x²-4x + 3
-x³ +x²
--------
= -4x²+ 7x
+4x - 4x
-------------
= 3x -3
-3x + 3
------------
= =
x³ - 5x² + 7x - 3 = (x-1)(x²-4x + 3) = 0

z drugiego obliczam deltę
∆ = b² - 4ac = (-4)² -4*1*3 = 16-12 = 4
√∆= √4 = 2
x1= (-b - √∆):2a = [-(-4 ) - 2] : 2*1 = (4 -2) : 2 = 2 : 2 = 1
x2 =(-b + √∆):2a = [-(-4 ) + 2] : 2*1 = (4 +2) : 2 = 6 : 2 = 3

x³ - 5x² + 7x - 3 =(x-1)(x-1)(x-3) = 0
x = 1 lub x = 1 lubx =3


b) x³ - 6x² - 9x + 14 = 0, x +2
(x³ - 6x² - 9x + 14 ) : (x+2) = x²-8x + 7
-x³ -2x²
----------
= -8x² -9x + 14
+8x² +16x
---------------
= 7x +14
-7x -14
---------
= =
(x³ - 6x² - 9x + 14 ) = (x+2) (x²-8x + 7) = 0

(x²-8x + 7) = 0
∆ = b² - 4ac = (-8)² - 4*1*7= 64 - 28 = 36
√∆= √36 = 6
x1= (-b - √∆):2a = (8 -6) : 2*1 = 2 : 2 = 1
x2 =(-b + √∆):2a = (8 +6) : 2*1= 14 : 2 = 7

(x³ - 6x² - 9x + 14 ) = (x+2) (x²-8x + 7) = (x+2)( x-1)(x-7) = 0

(x+2)( x-1)(x-7) = 0
x = 2 lub x = 1 lub x = 7


c) 2(x³ - 2x² - 5x + 6) = 0, x - 3
2(x³ - 2x² - 5x + 6) : ( x-3)
(2x³ - 4x² -10x + 12 ) : ( x-3) = 2x²+ 2x - 4
-2x³ + 6x²
------------
= 2x² -10x + 12
- 2x² + 6x
-------------
= - 4x + 12
+ 4x -12
--------------
= =
(2x³ - 4x² -10x + 12 ) = ( x-3) ( 2x²+ 2x - 4) = 0

( 2x²+ 2x - 4) = 0
∆ = b² - 4ac = 2² - 4*2*(-4) = 4 + 32 = 36
√∆= √36 = 6
x1= (-b - √∆):2a = (-2 -6): 2*2 = (-8) : 4 = -2
x2 =(-b + √∆):2a = (-2 + 6) : 2*2 = 4 : 4 = 1

(2x³ - 4x² -10x + 12 ) = ( x-3) ( 2x²+ 2x - 4) =(x-3)(x+2)(x-1) = 0

d) x³ - 10x² + 27x - 18 = 0, x - 3

(x³ - 10x² + 27x - 18 ) : ( x - 3) = x² - 7x + 6
-x³ + 3x²
-------------
= -7x² +27x - 18
+ 7x² - 21x
-------------
= 6x - 18
-6x +18
----------
= =
(x³ - 10x² + 27x - 18 ) = ( x - 3) (x² - 7x + 6) = 0
(x² - 7x + 6) = 0
∆ = b² - 4ac = (-7)² -4*1*6 = 49 - 24 = 25
√∆= √25 = 5
x1= (-b - √∆):2a = (7 - 5) : 2*1 = 2 : 2 = 1
x2 =(-b + √∆):2a = ( 7 + 5) : 2*1 = 12 : 2 = 6

(x³ - 10x² + 27x - 18 ) = ( x - 3) (x² - 7x + 6) = (x-3)(x-1)(x-6) = 0

x = 3 lub x = 1 lub x = 6


5) Rozwiąz równanie:
a)
x³ - 2x² = 5x - 6
x³ - 2x² - 5x + 6 = 0

W(1) = 1³ -2*1² -5*1 + 6 = 7 -7 = 0
skoro W(1) = 0 ,to wielomian jest podzielny przez (x-1)

Po podzieleniu x³ - 2x² - 5x + 6 przez (x-1) otrzymamy x² -x -6
x³ - 2x² - 5x + 6 =(x-1)( x² -x -6) = 0
z równania kwadratowego x² -x -6) = 0 obliczam deltę i 2 pierwiastki
∆ = 25
√∆= √25 = 5
x1 = 2
x2 = 3
x³ - 2x² - 5x + 6 = ( x-1) ( x-2)(x-3) = 0
x-1 = 0 lub x-2 = 0 lub x -3 = 0
x = 1 lub x = 2 lub x = 3

Podobnie zrobić pozostałe przykłady

b) x³ - x² - 11x = x² - 12
x³ -x² -11x -x² + 12 = 0
x³ -2x² -11x +12 = 0
W(1) = 1 -2 -11 +12 = 13 -13 = 0
x = 1
P podzieleniu x³ -2x² -11x +12 przez (x-1) otrzymam x² -x -12 z którego obliczam 2 nastepne pierwiastki
∆ = 49
√∆= 7
x = -3
x = 4

c) x³ - 6x = 4
x³ -6x -4 = 0
W(-2) = -8 + 12 -4 = 12 - 12= 0
x = -2 jest pierwiastkiem
po podzieleniu x³ -6x -4 przez (x +2) otrzymam : x² -2x -2 z którego obliczam deltę i 2 nastepne pierwiastki
∆ = 12
√∆ = 2√3

x = -2
(x³ -6x -4 ): ( x +2) = x² -2x -2
x= 1 -√3
x = 1 + √3

d) x³ - 3x = 2
x³ -3x -2 = 0
W(-1) = -1 +3 -2 = 0
x = -1
( x³ -3x -2 ) : ( x+1) = x² -x -2
z ostatniego obliczam delte i 2 pierwiastki
x = -1
x= 2


e) x³ - 7x² +15x = 9
x³ - 7x² +15x - 9 = 0
W(1) = 1-7 +15 -9 = 16-16 = 0
czyli x = 1
po podzieleniu x³ - 7x² +15x - 9 przez (x-1) otrzymamy równanie kwadratowe
x² -6x +9 z którego obliczam 2 nastepne pierwiastki
∆ = b² - 4ac = (-6)² -4*1*9 = 36 -36 = 0
x1 = x2 = -b : 2a = 6 : 2 = 3

x = 1
x = 3 ( podwójny pierwiastek)

f) x³ = 5x - 4
x³ -5x +4 = 0
W(1) = 1³ -5*1 +4 = 1 -5 +4 = 5 -5 = 0
x = 1 jest pierwiastkiem
Po podzieleniu x³ -5x +4 przez (x-1) otrzymamy: x² + x -4 z którego obliczam 2 pierwiastki
∆ = b² - 4ac = 1² - 4*1 *(-4 ) = 1 + 16 = 17
√∆= √17
x1= (-b - √∆):2a = (-1 -√17 ) : 2*1 = (-1 -√17 ) : 2
x2 =(-b + √∆):2a = (-1 +√17 ) : 2*1 = (-1 +√17 ) : 2