zad 499, 502, 504, 513 Wszystkie przykłady ! Na Wieczór dzisiejszy ;d.... Question from @patryszkaa1

patryszkaa1 @patryszkaa1

September 2018 1 15 Report

zad 499, 502, 504, 513 Wszystkie przykłady ! Na Wieczór dzisiejszy ;d

Roma

Zad. 499

$a_n = n - 1$

$a_{n-1} = n - 1 - 1 = n - 2$

$a_{n+1} = n + 1 - 1 = n$

$a_{2n+1} = 2n + 1 - 1 = 2n$

$a_n = n^2 + 5$

$a_{n-1} = (n-1)^2 + 5 = n^2 -2n + 1 + 5 = n^2 -2n + 6$

$a_{n+1} =(n+1)^2 + 5 = n^2 +2n + 1 + 5 = n^2 +2n + 6$

$a_{2n+1} = (2n +1)^2 + 5 = 4n^2 +4n + 1 + 5 = 4 n^2 + 4n + 6$

$a_n = \frac{1}{n + 3}$

$a_{n-1} = \frac{1}{n - 1 + 3} = \frac{1}{n + 2}$

$a_{n+1} = \frac{1}{n + 1 + 3} = \frac{1}{n + 4}$

$a_{2n+1} = \frac{1}{2n + 1 + 3} = \frac{1}{2n + 4}$

$a_n = 1 - 2n$

$a_{n-1} = 1 -2 \cdot (n -1) = 1 - 2n + 2 = 3 - 2n$

$a_{n+1} = 1 - 2 \cdot (n+1) = 1 -2n -2 = -1 - 2n$

$a_{2n+1} = 1 - 2 \cdot (2n+1) = 1 - 4n -2 = -1 - 4n$

$a_n = 2^{n -1}+ 3$

$a_{n-1} = 2^{n-1 -1}+ 3 = 2^{n-2} + 3$

$a_{n+1} = 2^{n+1 - 1} + 3 = 2^n + 3$

$a_{2n+1} = 2^{2n+1 - 1} +3 = 2^{2n} + 3 = (2^2)^n + 3 = 4^n + 3$

$a_n = (-1)^n$

$a_{n-1} = (-1)^{n-1} = \frac{(-1)^n}{(-1)^1} = \frac{(-1)^n}{-1} = - (-1)^n$

$a_{n+1} = (-1)^{n+1} = (-1)^n \cdot (-1)^1 = (-1)^n \cdot (-1) = -(-1)^n$

$a_{2n+1} = (-1)^{2n+1} = (-1)^{2n} \cdot (-1)^1 =[(- 1)^2]^n \cdot (-1) = 1^n \cdot (-1) = -1$

Zad. 502

Aby sprawdzić monotoniczność ciągu sprawdzamy znak różnicy $a_{n+1}- a_n$ . Jeśli różnica jest większa od zera (dodatnia) to ciąg jest rosnący, a jeśli różnica jest mniejsza od zera (ujemna) to ciąg jest malejący.

Jeśli wyrazy ciągu są dodatnie, to monotoniczność sparwdzamy poprzez porównanie ilorazu $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ z liczbą 1. Jeśli iloraz jest większy od 1 to ciąg jest rosnący, jeśli mniejszy od 1 to ciąg jest malejący.

$a_n = 5n + 3$

$a_{n+1} = 5 \cdot (n+1) + 3 = 5n + 5 + 3 = 5n + 8$

$a_{n+1} - a_n= 5n + 8 - (5n + 3) = 5n + 8 - 5n - 3 = 5 > 0$

Ciąg (an) jest rosnący

$a_n = 5 - 3n$

$a_{n+1} = 5 - 3 \cdot (n+1) = 5 - 3n - 3 = 2 - 3n$

$a_{n+1} - a_n = 2 - 3n - ( 5 - 3n) = 2 - 3n - 5 + 3n = - 3 < 0$

Ciąg (an) jest malejący.

$a_n = -10n^2$

$a_{n+1} = -10 \cdot (n + 1)^2 = -10 \cdot (n^2 + 2n + 1) = - 10n^2 - 20n - 10$

$a_{n+1} - a_n = - 10n^2 - 20n - 10 - ( -10n^2) = - 10n^2 - 20n - 10 + 10n^2 =$

$= -20n - 10 < 0$

Ciąg (an) jest malejący.

Ciąg (an) jest

$a_n = (-2)^n$

$a_{n+1} = (-2)^{n+1} = (-2)^n \cdot (-2)^1 = (-2)^n \cdot (-2) = - 2 \cdot (-2)^n$

$a_{n+1} - a_n = - 2 \cdot (-2)^n - (-2)^n = (-2)^n \cdot (- 2 - 1) = (-2)^n \cdot (- 3) =$

$= - 3 \cdot (-2)^n$

Nie można określić znaku różnicy, zatem ciąg (an) nie jest monotoniczny.

$a_n = \frac{-2}{n}$

$a_{n+1} = \frac{-2}{n+1}$

$a_{n+1} - a_n = \frac{-2}{n+1} - \frac{-2}{n} = \frac{-2 \cdot n}{n \cdot (n+1)} - \frac{-2 \cdot (n + 1)}{n \cdot (n+1)} = \frac{-2n}{n \cdot (n+1)} - \frac{-2n -2}{n \cdot (n+1)} =$

$= \frac{-2n - (-2n -2)}{n \cdot (n+1)} = \frac{-2n + 2n +2}{n \cdot (n+1)} = \frac{2}{n \cdot (n+1)} > 0$

Ciąg (an) jest rosnący.

$a_n = \frac{1}{n+2}$

$a_{n+1} = \frac{1}{n+1+2} = \frac{1}{n+3}$

Wyrazy ciągu (an) są dodatnie, więc badamy iloraz

$a_{n+1} \ : \ a_n = \frac{1}{n+3} \ : \ \frac{1}{n+2} = \frac{1}{n+3} \cdot \frac{n+2}{1} = \frac{n + 2}{n+3} < 1$

Ciąg (an) jest malejący.

$a_n = 3n - (2 + 3n) = 3n - 2 - 3n = - 2$

$a_{n+1} = - 2$

$a_{n+1} - a_n = - 2 - (- 2) = - 2 + 2 = 0$

Ciąg (an) jest stały

$a_n = (\frac{1}{3})^n = \frac{1^n}{3^n} = \frac{1}{3^n}$

$a_{n+1} = \frac{1}{3^{n+1}} = \frac{1}{3^n \cdot 3^1} = \frac{1}{3^n \cdot 3}$

Wyrazy ciągu (an) są dodatnie, więc badamy iloraz

$a_{n+1} \ : \ a_n = \frac{1}{3^n \cdot 3} \ : \ \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3^n \cdot 3} \cdot \frac{3^n}{1} = \frac{1}{3} < 1$

Ciąg (an) jest malejący.

$a_n =(- \frac{1}{2})^n$

$a_{n+1} =(- \frac{1}{2})^{n+1} = (- \frac{1}{2})^n \cdot (- \frac{1}{2})^1 = (- \frac{1}{2})^n \cdot (- \frac{1}{2}) = (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2})^n$

$a_{n+1} - a_n = (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2})^n - (- \frac{1}{2})^n = (- \frac{1}{2})^n \cdot (- \frac{1}{2} - 1) = (- 1\frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2})^n$

Nie można określić znaku różnicy, zatem ciąg (an) nie jest monotoniczny.

Zad. 504

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 , 4 , 4, 4, 5, ....

W podanym ciągu mamy 1 liczbę 1, 2 liczby 2, 3 liczby 3, 4 liczby 4, więc będzie 5 liczb 5 itd., 6 liczb 6

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 , 4 , 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, ...

W podanym ciągu mamy 1, (1, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 3, 4), czyli kolejne liczby naturalne od 1 i za każdym razem o jedna więcej, więc następne wyrazy to 1, 2, 3, 4, 5, a potem 1, 2, 3, 4, 5, 6, itd., czyli

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

1, 23, 456, 78910, ....

W podanym ciągu kolejne wyrazy składają z kolejnych liczb naturalnych, a ilość kolejnych liczb w wyrazie jest zawsze o jeden wieksza, więc w nastepnym wyrazie będzie liczba złozona z 5 kolejnych liczb naturalnych, a potem z 6, czyli

1, 23, 456, 78910, 1112131415, 161718192021, ....

12, 24, 36, 48, 510, 612, ....

W podanym ciągu kolejne wyrazy to liczby, w których pierwsze cyfry to kolejne liczby naturalne 1, 2, 3 , 4 ..., a nastepne cyfry w danym wyrazie to kolejne liczby parzyste, czyli 2, 4, 6, 8, 10, 12 ..., czyli

12, 24, 36, 48, 510, 612, 714, 816, 918, ....

Zad. 513

$a_1 = 2; \ a_{n+1} = a_n^2$