Question

z.1

Udowodnić, że każdą liczbę pierwszą nieparzystą można przedstawić

w jeden sposób jako różnicę kwadratów dwóch liczb naturalnych.

z.2

Dla jakiej wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania

x^2 + ( k -2) x - (k +3) = 0

ma najmniejszą wartość ?

z.3

Udowodnić, że jeżeli jedna z długości boków trójkąta równa się

średniej arytmetycznej długości pozostałych boków,to jedna z wysokości

tego trójkąta jest 3 razy dłuższa od długości promienia koła wpisanego

w ten trójkąt.

Answer 1

zadanie 1

Najpierw przyjrzymy się różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych n i n + k:

Aby była to liczba pierwsza to k musi być równe 1. Czyli jeżeli takie przedstawienie jest możliwe to muszą być dwie kolejne liczby naturalne:

Widzimy, że różnica dwóch kolejnych liczb naturalnych zawsze jest nieparzysta. Z dowolności wyboru n możemy tak przedstawić dowolną liczbę nieparzystą, tym bardziej wszystkie nieparzyste pierwsze.

Mamy również jednoznaczność przedstawienia, ponieważ wiemy, że jest ono możliwe tylko w wypadku kolejnych liczb naturalnych. A ponieważ para n, n + 1 definiuje 2n + 1 jest to przedstawienie jednoznaczne.

 

zadanie 2

Kiedy pierwiastki istnieją?

zawsze

Układamy funkcję:

najmniejsza wartość jest przyjmowana dla k = 1

 

zadanie 3

Stosujemy dwa wzory na pole trójkąta: