Udowodnić, że jeżeli a jest liczbą całkowitą, toa^5/ 120 - a^3 /24 + a / 30 jest też liczbą całkowit.... Question from @Janek191

platon1984

sprowadzam do wspólnego mianownika i robię proste przeksztalcenia:

$\frac{a^5-5a^3+4a}{120}=\frac{a(a^4-5a^2+4)}{120}=\frac{(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2))}{120}$

gdzie rozkład na czynniki wielomianu stopnia 4-go odbywa się poprzez podstawienie x=a^2, co daje rozwiązania x=1 lub x=4

w liczniku mamy iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych, czyli jest on z pewnością podzielny przez 2,3,4,5;

oznacza to, że wartość wielomianu jest podzielna przez 2*3*4*5=120.

co było do udowodnienia

pozdrawiam

6 votes Thanks 0

konrad509

$\\\frac{a^5}{120}-\frac{a^3}{24}+\frac{a}{30}=|\ \cdot 120\\ a^5-5a^3+4a=\\ a(a^4-5a^2+4)=\\ a(a^4-a^2-4a^2+4)=\\ a((a^2(a^2-1)-4(a^2-1))=\\ a(a^2-4)(a^2-1)=\\ a(a+2)(a-2)(a+1)(a-1)$

Każdy z czynników po podstawieniu pod a liczby całkowitej, będzie również liczbą całkowitą. Iloczyn liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, zatem równanie wyjściowe również jest liczbą całkowitą.

4 votes Thanks 0

1. Kto śpiewa piosenkę " Będę czekał " ?2. Wymień przynajmniej 10 tytułów piosenek spiewanych przez Damiana Holeckiego.

Podaj nazwę kapeli, która śpiewa " Pieśń o Katyniu " ?Wymień 5 tytułów innych piosenek tej kapeli.

19 X 2010 r., w Łodzi ,został zamordowany Marek Rosiak pracownik biuraposelskiego Janusza Wojciechowskiego.Podaj imię i nazwisko mordercy oraz z jaką partią był on związanyw przeszłości ( z tzw. partia miłości ) ?

W dniu 29 wrzesnia 2012 r. w Warszawie odbywa się wielka ogólnopolska manifestacja w obronie wolności słowa i Telwizji Trwam.Trwa bezpośrednia transmisja ( Internet: www. tv - trwam.pl ]Pod jakim hasłem odbywa się ta manifestacja ?

z.1Cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczb 2^1997 oraz 5^1997 wyoisano kolejno jedna za drugą. Oblicz ile cyfr napisano .z.2Wyznacz wszystkie liczby całkowite m spełniające równanie2^m * ( 4 - m) = 2 m + 4

Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie 4 stopnia:- x^4 + 763 200 x^2 - 40 642 560 000 = 0To równanie rozwiazał chinski matematyk Cin CIU -szao około roku 1300.Jest to tzw. równanie dwukwadratowe. Skorzystaj z wzorów na pierwiastkirównania kwadratowego podane przez F. Viete'a ( 1540 - 1603)

Oto zdjęcia z pewnego skansenu.Podaj nazwę i miejscowość, w której znajduje się ten skansenarcheologiczny .

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social