Question

Z punktu S leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego poprowadzono odcinki SK, SL, SM prostopadle do boków. Wykaż, że suma ich długości jest równa wysokości tego trójkąta.

Answer 1

Niech

a - długość boku trójkąta równobocznego

oraz

x = I SK I , y = I SL I , z = I SM I

Mamy pole tego trójkąta

P = a^2 p(3)/ 4

Pole możemy też obliczyć w następujący sposób:

Łączymy punkt S z wierzchołkami tego trójkąta. Otrzymujemy 

3 trójkąty.

P = (1/2)a*x + (1/2)a*y + (1/2)a*z = 0,5 a*( x + y + x)

Porównujemy oba wzory

czyli

0,5 a* ( x + y + z) = a^2 p(3).4 

Mnożymy obustronnie przez 4

2a *(x +y +z) = a^2 p(3)

Dzielimy obustronnie przez 2a

x + y + z = p(3)/ 2 = h  - wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a

========================

p(3)  - pierwiastek kwadratowy z 3