Question

Z powierzchni Ziemi wyrzucono cialo z predkoscia v0. Na jaka wysokosc wzniesie sie cialo ? Jaka powinno miec najmniejsza predkosc poczatkowa aby nigdy nie spadlo na Ziemie ?

Answer 1

Z zasady zachowania energii mechanicznej:

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

 

Ek1 = m·Vo²/2

Ep1 = -G·M·m/R         (R - promień Ziemi)

Ek2 = 0

Ep2 = -G·M·m/(R + h)

 

m·Vo²/2 - G·M·m/R = -G·M·m/(R + h)

Vo² - 2·G·M/R = -2·G·M/(R + h)

h = 2·G·M/(2·G·M/R - Vo²) - R =  (2·G·M - 2·G·M + Vo²·R)/(2·G·M/R - Vo²)

h = Vo²·R/(2·G·M/R - Vo²) = Vo²/(2·G·M/R² - Vo²/R) = Vo²/(2·g - Vo²/R)

h = Vo²/[2·g(1 - Vo²/2·g·R)]                        g - przyspieszenie na powierzchni Ziemi

 

Dla niezbyt dużych prędkości  (Vo²/2·g·R << 1)  wzór ten upraszcza się do postaci:

h = Vo²/(2·g)

 

Żeby ciało nie spadło spowrotem h musi być równe nieskończoności, czyli mianownik wcześniejszych wzorów na h musi się równać zero:

 

1 - Vo²/2·g·R = 0

Vo = √(2·g·R) =  √(2·G·M/R)   to tzw. II prędokość kosmiczna (dla Ziemi 11.2 km/s)