Question

X^3-(a+b)x^2-(a-b)x+3 jest podzielny przez wielomian P(x)=x^2-4x+3. Wyznacz a i b

Answer 1

Dany jest wielomian W(x)= x³ -(a+b)x² -(a-b)x+ 3
podzielny przez wielomian P(x)= x²- 4x+ 3.
Obliczamy pierwiastki wielomianu P(x):
Δ= (-4)²- 4*1*3= 16- 12= 4, √Δ= √4= 2
x₁= (4- 2)/2= 1, x₂= (4+ 2)/2= 3
czyli postać iloczynowa wielomianu to:
P(x)= (x- 1)(x- 3)
Wielomian W(x)= x³ -(a+b)x² -(a-b)x+ 3 jest podzielny przez
wielomian P(x), czyli pierwiastki wielomianu P(x)
x₁= 1 i x₂= 3 są pierwiastkami wielomianu W(x),
stąd W(x₁)= 0 i W(x₂)= 0
Obliczamy W(x₁)i W(x₂), gdzie x₁= 1, x₂= 3
W(x₁)= x₁³ -(a+b)x₁² -(a-b)x₁+ 3= 1³ -(a+b)*1² -(a-b)*1+ 3=
1 -(a+b) -(a-b)+ 3= 4- a- b- a+ b= 4- 2a
4- 2a= 0, stąd a= 2 {-2a= -4, a= 2}
W(x₂)= x₂³ -(a+b)x₂² -(a-b)x₂+ 3= 3³ -(a+b)*3² -(a-b)*3+ 3=
27- 9*(a+ b)- 3*(a- b)+ 3= 30- 9a- 9b- 3a+ 3b= 30- 12a- 6b
30- 12a- 6a= 0, stąd 30- 12*2- 6b= 0, 30- 24- 6b= 0, -6b+ 6= 0
-6b= -6, b= 1
Wielomian W(x)= x³ -(a+b)x² -(a-b)x+ 3 jest podzielny przez
wielomian P(x)= x²- 4x+ 3 dla a= 2 i b= 1.
W(x)= x³ -(2+ 1)x² -(2- 1)x+ 3= x³ -3x² -x+ 3
Odp. Dla a= 2 i b= 1 wielomian x³ -(a+b)x² -(a-b)x+ 3
jest podzielny przez wielomian P(x)= x²- 4x+ 3.