Question

1) Rozwiaz uklady rownan i podaj ich interpretacje geometryczna.
a) y=x2+6x+6
x2+6x+y2-4y=12

b) y=6/x
x2+y2=13

2)Znajdz rownanie stycznej do okregu (x-3)2+(y+2)2=10 w punkcie A(6,-1).


3) Znajdz rownanie okregu symetrycznego do okregu x2+2x+y2-12y+12=0 wzgledem prostej y=2x-2.

Answer 1

3)
x² + 2x + y² -12y + 12 = 0
(x + 1)² - 1 + (y - 6)² + 36 + 12 = 0
(x + 1)² + (y - 6)² = 5² - okrąg o środku S(-1; 6) i promieniu r = 5

okrąg symetryczny do okręgu o środku S(-1; 6) i promieniu r = 5 względem prostej to okrąg o środku S' (x'; y') symetrycznym względem tej prostej i promieniu r' = r

wystarczy zatem wyznaczyć współrzędne punktu S'

prosta prostopadła do prostej y = 2x - 2 ma postać y = -2x + b i przechodzi przez punkt S → b = 6 + 2(-1) = 4
y = -2x + 4

punkt P przecięcia się prostych y = 2x - 2 i y = -2x + 4 to środek odcinka SS'. Oblicz współrzędne punktu P
y = 2x - 2 i y = -2x + 4 (układ równań)
stąd 4x = 6
x = 1,5 y = 1
P (1,5; 1)

P - środek odcinka SS' stąd
1,5 = ½(-1 + x') 1 = ½(6 +y')
x' = 4 y' = -4
S' (4, -4)

szukane równanie okręgu: (x - 4)² + (y + 4)² = 5²

2)
(x - 3)² + (y + 2)² = 10 - okrąg o środku w punkcie S (3; -2) i promieniu r = √10

prosta styczna do okręgu w punkcie A jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty S (3; -2) i A (6; -1)
równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty S i A:
[-1 -(-2)](x - 3) - (6 - 3)(y - (-2)) = 0
x - 3 - 3(y + 2) = 0
y + 2 = ⅓x + 1
y = ⅓x - 3

prosta styczna do okręgu w punkcie A jest prostopadła do prostej y = ⅓x - 3 więc jej równanie to:
y = -⅓x + b punkt A należy do tej prostej → -1 = -⅓*6 + b
b = 1

równanie stycznej to y = -⅓x + 1

1)
a)
y = x² + 6x + 6
x² + 6x + y² - 4y =12

y = x² + 6x + 6
Δ = 36 - 24 = 12
x₁ = (-6 - 2√3)/2 lub x₂ = (-6 + 2√3)/2
x₁ = -3 - √3 lub x₂ = -3 + √3
parabola o ramionach skierowanych ku górze i wierzchołku w punkcie (-3; -3), punktach przecięcia z osią OX (-3-√3; 0) i (-3+√3; 0), osią OY (0; 6)

x² + 6x + y² - 4y =12
(x + 3)² - 9 + (y - 2)² - 4 = 12
(x + 3)² + (y - 2)² = 25
okrąg o środku w punkcie (-3; 2) i promieniu r = 5

rozwiązanie układu:
y = x² + 6x + 6
x² + 6x + y² - 4y =12

x² + 6x + (x² + 6x + 6)² - 4(x² + 6x + 6) = 12
x⁴ + 12x³ + 45x² + 54x = 0
x(x³ + 12x² + 45x + 54) = 0
x(x + 6)(x + 3)² = 0
x = 0 lub x = - 6 lub x = -3

rozwiąznie układu:
(x = 0 i y = 6) lub (x = -6 i y = 6) lub (x = -3 i y = -3)

parabola przecina okrąg w punktach (-6; 6) i (0; 6)
punkt (-3; -3) jest punktem styczności paraboli i okręgu

b)
y = 6/x → x ≠ 0
x² + y² = 13

x² + (6/x)² = 13
x⁴ + 36 = 13x²
x⁴ - 13x² + 36 = 0
x² = t → t² - 13t + 36 = 0
Δ = 169 - 144 = 25
t₁ = (13 - 5)/2 lub t₂ = (13 + 5)/2
t₁ = 4 lub t₂ = 9
x² = 4 lub x² = 9
x = 2 lub x = -2 lub x = 3 lub x = -3

rozwiązanie układu:
(x = -3 i y = -2) lub (x = -2 i y = -3) lub (x = 2 i y = 3)
lub (x = 3 i y = 2)

hiperbola i okrąg, ale pełna interpretacja geometryczna... to już samodzielnie ;)