Question

Proszę o pomoc. PILNE!!!
Wyznacz wyraz rozwinięcia (x³+ 1/x)¹⁵ (x≠0), który zawiera x⁵. Daję naj!

Proszę o pełne rozwiązanie, bez skrótów myślowych, inaczej zgłaszam spam.

Answer 1

Znajdź wyraz (x³+ 1/x)¹⁵ (x≠0), który zawiera x⁵

Rozwinięcie dwumianu do potęgi n ma następujące iloczyny potęg (pomijam na razie współczynniki, które oznaczam jako k₀, k₁, ..., k(n-1), k(n))

(a + b)^n =
k₀ a^n*b⁰ + k₁ a^(n-1)b¹ + k₂ a^(n-2) b² + ... + k(n-1)ab^(n-1) + k(n)a⁰b^n

oczywiście ^ oznacza potęgowanie. Jak widać, wykładnik potęgi pierwszego wyrazu maleje od n do zera, a drugi rośnie od 0 do n, tak że każdy wyraz rozwinięcia ma sumę wykładników stałą i wynoszącą n. W naszym zadaniu suma też będzie stała, ale z uwagi, że podstawy dwumianu są jednakowe, nie będzie tego wprost widać, bo potęgi mnożąc się przez siebie dodają do siebie wykładniki.
Oznaczmy przez n numer wyrazu rozwinięcia licząc od n=0
Nasz dwumian ma postać: (x³ + x⁻¹)¹⁵
dla n=0 mamy (x³)¹⁵ *(x⁻¹)⁰ = x⁴⁵
dla n=1 mamy (x³)¹⁴ *(x⁻¹)¹ = x⁴¹
Szukamy dla jakiego n otrzymamy x⁵. Należy więc napisać równanie na wykładniki potęg:
3(15-n) + (-1)n = 5
45 -3n -n = 5
4n = 40
n = 10
Tak więc potęgę 5 będzie miał dziesiąty (licząc od zera), czyli 11. (licząc od 1) wyraz ciągu, bo pierwszy wyraz będzie miał postać x⁴⁵⁻³⁰, a drugi x⁻¹⁰, razem dając x¹⁵⁻¹⁰=x⁵.
Współczynniki można wziąć z tzw. trójkąta Pascala:
                1                     n=0
            1      1                 n=1
         1     2     1              n=2,    np. (a+b)² = 1a² + 2ab + 1b²
      1     3     3     1          n=3 
   1     4     6     4     1      n=4
1     5    10    10   5    1    n=5
                                       itd.  

Możemy rozwijać dalej trójkąt (zauważmy, że suma dwóch współczynników w linii wyższej jest współczynnikiem w następnej linii), ale możemy też skorzystać ze wzoru na współczynniki wyliczone z dwumianu Newtona n po k,
(n)          n!
(  )=  ----------     , gdzie n jest numerem wiersza, a k numerem kolumny (licząc
(k)     (n-k)! k!

od zera), a więc szukany współczynnik k₁₀ przy potędze x⁵, będzie miał wzór
15 po 10, czyli 15!/[(15-10)!10!] = 11*12*13*14*15/(1*2*3*4*5) = 3003
czyli szukany wyraz będzie miał postać 3003x⁵ i jest to 11 wyraz ciągu licząc od 1 i rozwijając go w sposób regularny, czyli jak opisano wyżej.

Zobacz opis z ładnymi rysunkami:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Trójkąt_Pascala

Myślę, że pomogłem i mam nadzieję, że bez pomyłki i "skrótów myślowych".