Question

Wyznacz wszystkie pary liczb spełniające równania:
a)
b)
c)

Dam naj za wszystkie 3 rozwiazane przyklady!

Answer 1

a)

xy - 4x = 3

xy = 4x + 3 / : x

y = 4 + 3/x

Aby y było liczbą naturalną, x  musi być naturalnym dzielnikiem liczby 3,

zatem

x = 1 , to  y = 4 + 3/1 = 7

x = 3, to  y = 4 + 3/3 = 5

Odp. (1; 7),( 3; 5)

============================

b)

x^2 - y^2 = 5

(x-y)*(x + y) = 5

zatem

[ x - y = 1   i  x + y = 5 ]  lub   [ x - y = - 1    i  x + y = - 5 ] lub

[ x - y = 5   i    x + y = 1 ]    lub   [ x - y = - 5   lub  x + y = - 1 ]

1)

x - y = 1

x + y = 5

------------ dodajemy stronami

2x = 6

x = 3

=======

y = 5 - 3 = 2

==========

2)

x - y = - 1

x + y = - 5

----------------  dodajemy stronami

2x = - 6

x = - 3

=====

y = -5 - (-3) = -5 + 3 = - 2

========================

3)

x - y = 5

x + y = 1

--------------  odejmujemy stronami

-2y = 4

y = - 2

======

x = 1 - y = 1 - (-2) = 3

==================

4)

x - y = - 5

x + y = - 1

----------------  odejmujemy stronami

-2y  = - 5 - (-1)

- 2y = -4

y = 2

=====

x = -1 - y = - 1 -2 = - 3

=====================

Odp. ( 3;2),(-3; -2),(3; - 2),( - 3; 2)

=======================================

z.3

y = p(x^2 + 4]

x^2 + 4 > 0

Podnosimy obustronnie do kwadratu:

y^2 = x^2 + 4

y^2 - x^2 = 4

(y -x)*(y + x) = 4

czyli

1) y - x = 1    i     y + x = 4

2) y - x = 4    i     y + x = 1

3) y - x = 2    i     y + x = 2

4) y - x = -1   i     y + x = - 4

5) y - x = - 4  i     y + x = - 1

6) y - x = - 2  i     y + x = - 2

==========================

1)  y - x = 1

     y + x = 4

-----------------    dodajemy stronami

2y = 5

y = 2,5  - odpada   , bo y  nie jest liczbą naturalną

2)

y - x = 4

y + x = 1

------------

2y = 5

y = 2,5   - odpada

3)

y - x = 2

y + x = 2

---------------  dodajemy stronami

2y = 4

y = 2

x = 0

Jeżeli 0 zaliczymy do liczb naturalnych, to mamy rozwiązanie ; ( 0,; 2)

4)

y - x = - 1

y + x = - 4

-------------

2y = - 5

y = - 2,5  - odpada

5)

y - x = - 4

y + x = - 1

---------------

2y = - 5

y = -2,5  - odpada

6)

y - x = - 2

y + x = - 2

-----------------

2y = - 4

y = -2  - odpada, bo nie jest liczbą naturalną

Odp. Równanie y = p( x^2 + 4)  nie ma rozwiązania w  zbiorzez liczbnaturalnych N.

N = { 1,2,3,4,5, ... }

====================================================================