Question

Wykaż, że jeżeli x i y są liczbami dodatnimi oraz xy = 1 to (2+x)(2+y)9

Answer 1

zalozenie:

 

x>0,y>0

 

mamy uklad rownan:

 

(2+x)(2+y)≥9

xy=1  to x=1/y

 

(2+1/y)(2+y)≥9

4+2y+2/y+1-9≥0  /*y

4y+2y²+2=Y-9Y≥0

2Y²-4Y+2≥0  /:2

Y²-2Y+1≥0

DELTA=4-4=0

 

Y=2/2=1

to x=1/1=1

 

 

na os liczbe 1 i rozwiazanie ukladu jest prawdziwe dla y≥1,a poniewaz gdy podstawimy pod x=1/y wartosci y≥1,to i x bedzie dodatnie zawsze.Z tego wynika,ze nierownosc jest prawdziwa,gdy zarowno x jak i y sa dodatnie

zatem rozwiazanie