Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m dla których równanie (x^3 + 2x^2 + 2x +1) * [x^2 -(.... Question from @Koziucha124

December 2018 1 58 Report

Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m dla których równanie
(x^3 + 2x^2 + 2x +1) * [x^2 -(2m+1)] * x +m^2+m =0 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych

loitzl9006 $\underbrace{(x^3+2x^2+2x+1)}_{W(x)}\cdot[\underbrace{x^2-(2m+1)x+m^2+m}_{P(x)}]=0\\ W(x)=0 \ \vee \ P(x)=0\\ W(x)=0\iff x^3+2x^2+2x+1=0\\ x^3+x^2+x^2+x+x+1=0\\ x^2(x+1)+x(x+1)+1(x+1)=0\\ (x+1)(\underbrace{x^2+x+1}_{\Delta<0})=0\\ x+1=0 \ \to \ x=-1$

Jednym z pierwiastków jest $x=-1$ . Aby całe równanie miało 3 różne pierwiastki to wielomian $P(x)$ musi mieć 2 różne pierwiastki $x_1, \ x_2$ różne od minus 1.
Ze względu na warunek ze średnią rozważamy 3 przypadki:
$-1=\frac{x_1+x_2}2\ \vee \ x_1=\frac{x_2-1}2 \ \vee \ x_2=\frac{x_1-1}2$

pierwszy jest dość łatwy wystarczy wzór Viete'a wykorzystać:
$-1=\frac{\frac{2m+1}{2}}2\ \to \ \frac{2m+1}2=-2\ \to \ 2m+1=-4\ \to \ m=-\frac52$
drugi i trzeci - trochę nietypowy, trzeba kombinować
$x_1=\frac{x_2-1}{2}\ \to \ 2x_1=x_2-1\\ x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}, \ x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\\ \frac{2(-b-\sqrt\Delta)}{2a}=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}-1\\ \frac{-2b-2\sqrt\Delta}{2a}+\frac{b-\sqrt\Delta}{2a}+1=0\\ \frac{-b-3\sqrt\Delta}{2a}+\frac{2a}{2a}=0\ \ \ \ |\cdot2a\\ -b-3\sqrt\Delta+2a=0\\ a=1, \ b=-(2m+1), \ c=m^2+m\\ 2m+1-3\sqrt{(2m+1)^2-4\cdot1\cdot(m^2+m)}+2=0\\ 2m+3=3\sqrt{(2m+1)^2-4\cdot1\cdot(m^2+m)}\\ 2m+3=3\sqrt{4m^2+4m+1-4m^2-4m}\\ 2m+3=3\sqrt1\ \to \ 2m+3=3\ \to \ m=0$
$x_2=\frac{x_1-1}{2}\ \to \ 2x_2=x_1-1\\ x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}, \ x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\\ \frac{2(-b+\sqrt\Delta)}{2a}=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}-1\\ \frac{-b+\sqrt\Delta}a=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}-1\\ \frac{2m+1+1}1=\frac{2m+1-1}{2\cdot1}-1\\ 2m+2=\frac{2m}2-1\\ 2m+2=m-1\\ m=-3$

Są trzy podejrzane wartości m czyli $m\in\{-3;-\frac52;0\}$
Na wstępie, $m=-\frac52$ odpada bo nie jest to liczba całkowita
Wstawiamy pozostałe m do wielomianu P(x) i sprawdzamy czy dla któregoś z m przypadkiem pierwiastkiem wielomianu P(x) nie jest (-1). Musi zatem jeszcze dodatkowo zachodzić warunek $P(-1)\neq0$ :
$P(x)=x^2-(2m+1)x+m^2+m\\ m=-3\ \to \ P(x)=x^2-[2\cdot(-3)+1]x+(-3)^2-3\\ P(x)=x^2+5x+9-3\\ P(x)=x^2+5x+6\\ P(-1)=(-1)^2+5\cdot(-1)+6=1-5+6\neq0$
$m=0\ \to \ P(x)=x^2-(2\cdot0+1)x+0^2+0\\ P(x)=x^2-x\\ P(-1)=(-1)^2-(-1)=1+1\neq0$

Odp. $m\in\{-3;0\}$