Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f. a) f(x)= b) f(x)= c) f(x)= d) f(x)= e) f(x)= f) f(x)=.... Question from @Ques

January 2019 1 16 Report

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f.
a) f(x)= $2 x^{3}+3 x^{2}-12x+1$
b) f(x)= $x^{3}-3 x^{2} +3x+5$
c) f(x)= $\frac{x+2}{x}$
d) f(x)= $\frac{ x^{2} }{x+1}$
e) f(x)= $x^{2} - \frac{2}{x}$
f) f(x)= $4x+ \frac{1}{x}$

Paawełek Definicja: Funkcja jest rosnąca gdy f ' (x)>0, malejąca gdy f ' (x) <0.

a)

$f(x)=2x^3+3x^2-12x+1 \\ \\ f'(x)=6x^2+6x-12 \\ \\ \hbox{Funkcja rosnie dla:} \\ \\ f'(x)\ \textgreater \ 0 \\ \\ 6x^2+6x-12\ \textgreater \ 0 \qquad /:6 \\ \\ x^2+x-2\ \textgreater \ 0 \\ \\ \Delta=1+8=9 \\ \\ x_1=\dfrac{-1+3}{2}=1 \\ \\ x_2=\dfrac{-1-3}{2}=-2$

$\hbox{Funkcja rosnaca dla} \ \ x\in (-\infty, -2)\cup (1,+\infty) \\ \hbox{Funkcja malejaca w pozostalym przedziale:} \ \ x\in \langle -2,1\rangle$

b)

$f(x)=x^3-3x^2+3x+5 \\ \\ f'(x)=3x^2-6x+3 \\ \\ f'(x)\ \textgreater \ 0 \\ \\ 3x^2-6x+3\ \textgreater \ 0 \\ \\ 3(x^2-2x+1)\ \textgreater \ 0 \\ \\ 3(x-1)^2\ \textgreater \ 0 \\ \\ \hbox{Pochodna funkcji nigdy nie jest ujemna. Wniosek: funkcja rosnie} \\ \hbox{dla} \ \ x\in \mathbb{R}$

c)

$f(x)=\dfrac{x+2}{x}=1+\dfrac{2}{x} \\ \\ f'(x)=-\dfrac{2}{x^2} = \dfrac{-2}{x^2} \\ \\ \hbox{Licznik jest zawsze ujemny a mianownik zawsze dodatni. Wniosek:} \\ \hbox{pochodna funkcji jest ujemna, wiec funkcja maleje w swej dziedzinie} \\ \hbox{czyli dla} \ \ x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

d)

$f(x)=\dfrac{x^2}{x+1} \\ \\ f'(x)= \dfrac{(x^2)'(x+1)-x^2(x+1)'}{(x+1)^2}= \dfrac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}= \\ \\ = \dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2} \\ \\ f'(x)\ \textgreater \ 0 \\ \\ \dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}\ \textgreater \ 0 \qquad /\cdot(x+1)^2 \\ \\ x^2+2x\ \textgreater \ 0 \\ \\ x(x+2)\ \textgreater \ 0 \\ \\ \hbox{Funkcja rosnie dla} \ \ x\in (-\infty, -2)\cup (0,+\infty) \\ \hbox{maleje dla:} \ x\in\langle-2,0\rangle\setminus\{-1\}$

e)

$f(x)=x^2-\dfrac{2}{x} \\ \\ f'(x)=2x+\dfrac{2}{x^2} \\ \\ f'(x)\ \textgreater \ 0 \\ \\ 2x+\dfrac{2}{x^2}\ \textgreater \ 0 \qquad /\cdot x^2 \\ \\ 2x^3+2\ \textgreater \ 0 \\ \\ 2x^3\ \textgreater \ -2 \qquad /:2 \\ \\ x^3\ \textgreater \ -1 \qquad /\sqrt[3]{} \\ \\ x\ \textgreater \ -1 \\ \\ \hbox{Rosnie dla} \ \ x\ \textgreater \ -1 \setminus\{0\} \\ \hbox{maleje dla} \ \ x\le -1$

f)

$f(x)=4x+\dfrac{1}{x} \\ \\ f'(x)=4-\dfrac{1}{x^2} \\ \\ f'(x)\ \textgreater \ 0 \\ \\ 4-\dfrac{1}{x^2}\ \textgreater \ 0 \\ \\ \dfrac{4x^2-1}{x^2}\ \textgreater \ 0 \qquad /\cdot x^2 \\ \\ 4x^2-1\ \textgreater \ 0 \\ \\ (2x-1)(2x+1)\ \textgreater \ 0 \\ \\ \hbox{Funkcja rosnie dla} \ \ x\in(-\infty, -\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},+\infty) \\ \hbox{maleje:} \ \ x\in \langle -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle \setminus\{0\}$

2 votes Thanks 1