Wyznacz dwa ciągi: arytmetyczny a1, a2, a3 i geometryczny b1, b2, b3 takie, aby a1b1=1, a2b2=4,a3b3=.... Question from @kryjan

August 2018 1 15 Report

Wyznacz dwa ciągi: arytmetyczny a1, a2, a3 i geometryczny b1, b2, b3 takie, aby a1b1=1, a2b2=4,a3b3=12, a1+a2+a3=6.

Bardzo przepraszam, ale opuszczony zoatł jeden warunek w zadaniu.

Roma Ciąg arytmetyczny: a₁, a₂, a₃
Ciąg geometryczny: b₁, b₂, b₃
Warunki:
1° a₁ · b₁ = 1
2° a₂ · b₂ = 4
3° a₃ · b₃ = 12
4° a₁ + a₂ + a₃ = 6

Jeśli ciąg (a₁, a₂, a₃) jest arytmetyczny, to: a₂ = a₁ + r i a₃ = a₂ + r = a₁ + 2r, gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego oraz wyraz a₂ jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących, czyli wyrazów a₁ i a₃:
$a_2 = \frac{a_1+a_3}{2} \ / \cdot 2 \\\\
2a_2 = a_1 + a_3 \\\\
a_1 + a_3 = 2a_2$

Stąd i z warunku 4° otrzymujemy:
a₁ + a₂ + a₃ = 6
a₁ + a₃ + a₂ = 6
2a₂ + a₂ = 6
3a₂ = 6 /:3
a₂ = 2

Zatem:
a₂ = a₁ + r
a₁ + r = 2
a₁ = 2 - r

a₃ = a₂ + r
a₃ = 2 + r

Z warunku 2° otrzymujemy:
a₂ · b₂ = 4
2 · b₂ = 4 /:2
b₂ = 2

Jeśli ciąg (b₁, b₂, b₃) jest geometryczny, to: b₂ = b₁ · q i b₃ = b₂ · q, gdzie q to iloraz ciągu geometrycznego oraz na podstawie warunków 1° - 3° stwierdzamy, że q ≠ 0 .
Stąd:
$b_2 = b_1 \cdot q \\\\
2 = b_1 \cdot q \ /:q \\\\
b_1 = \frac{2}{q}$
i
$b_3 = b_2 \cdot q \\\\
b_3 = 2q$

Zatem z warunku 1° i 3° otrzymujemy:
$\left \{ {{a_1 \cdot b_1 = 1} \atop {a_3 \cdot b_3 = 12}} \right. \\\\
\left \{ {{(2 - r) \cdot \frac{2}{q} = 1 \ / \cdot q} \atop {(2 + r) \cdot 2q= 12 \ /:2}} \right. \\\\
\left \{ {{(2 - r) \cdot 2 = q} \atop {(2 + r) \cdot q= 6}} \right. \\\\
\left \{ {{q = (2 - r) \cdot 2} \atop {(2 + r) \cdot (2 - r) \cdot 2 = 6 \ / \:2}} \right. \\\\
\left \{ {{q = (2 - r) \cdot 2} \atop {(2 + r) \cdot (2 - r) = 3}} \right.$

Rozwiązujemy drugie równanie układu:
$(2 + r) \cdot (2 - r) = 3 \\\
4 - r^2 = 3 \\\
- r^2 = 3 - 4 \\\
-r^2 = - 1 \ / \cdot(-1) \\\
r^2 = 1 \\\
r_1 = 1 \ \wedge \ r_2 = - 1$

Stąd:
$\left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = (2 - r_1) \cdot 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = (2 - r_2) \cdot 2}} \right. \\\\
\left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = (2 - 1) \cdot 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = (2 - (-1)) \cdot 2}} \right. \\\\
\left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = 1 \cdot 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = (2 +1) \cdot 2}} \right.$

$\left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = 3 \cdot 2}} \right. \\\\
\left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = 6}} \right.$

Zatem:
Dla r = 1 i q = 2 otrzymujemy:
$a_1 = 2 - r = 2 - 1 = 1 \\\
a_3 = 2 + r = 2 + 1 = 3 \\\\
b_1 = \frac{2}{q} = \frac{2}{2} = 1 \\\
b_3 = 2q = 2 \cdot 2 = 4$

Dla r = - 1 i q = 6 otrzymujemy:
$a_1 = 2 - r = 2 - (-1) = 2+1 = 3 \\\
a_3 = 2 + r = 2 + (-1) = 2-1=1 \\\\
b_1 = \frac{2}{q} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\\
b_3 = 2q = 2 \cdot 6 = 12$

Stąd otrzymujemy następujące ciągi spełniające warunki zadania:
- ciąg arytmetyczny: $1; \ 2; \ 3$ i ciąg geometryczny: $1; \ 2; \ 4$
- ciąg arytmetyczny: $3; \ 2; \ 1$ i ciąg geometryczny: $\frac{1}{3}; \ 2; \ 12$

Prawdopodobieństwo wygrania w pewnej loterii co najwyżej 5 zł wynosi 0,9, natomiast prawdopodobieństwo wygrania co najmniej 5 zł jest równe 0,2. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania dokładnie 5 zł.

Answer

Kryjan March 2019 | 0 Replies

W urnie jest pięć kul białych o numerach 1,2,3,4,5 oraz trzy kule czarne o numerach 1,2,3. Losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwsza wylosowana kula bedzie biała a druga będzie miała numer jeden

Answer

kryjan November 2018 | 0 Replies

Cenę spodni obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 40%. O ile % cena zmniejszyła się w wyniku obu obniżek.

Answer

kryjan November 2018 | 0 Replies

Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły złozonej z dwóch czworościanów foremnych sklejonych podstawami o krawędzi 6 cm.

Answer

kryjan August 2018 | 0 Replies

Ratownik mający do dyspozycji linę długości 120 m ma wytyczyć przy brzegu plaży kąpielisko w kształcie prostokąta. Jakie wymiary powinno mieć kąpielisko, by jego powierzchnia była możliwie największa? Przyjmujemy, ze brzeg plaży tworzy linię prostą i nie umieszczamy przy nim liny.

Answer

kryjan August 2018 | 0 Replies

Wyznacz te liczby x dla ktorych dodatnie liczby log8 (x-1); 3log8(x-1); 6 tworzą ciąg geometryczny. Uwaga: 8 napisane bezpośrednio po log to podstawa logarytmu

Answer

kryjan August 2018 | 0 Replies

W pewnym ciągu geometrycznym różnica kwadratów pierwszego i drugiego wyrazu wynosi 12, zaś róznica kwadratu pierwszego i trzeciego wyrazu wynosi 15. Znajdź piąty wyraz tego ciągu.

Answer

kryjan August 2018 | 0 Replies

Wiedząc że log з 20=a i log з 15=b, oblicz log ₂ 360.

Answer

kryjan August 2018 | 0 Replies

W równoległoboku którego obwód jest równy 48 cm, stosunek wysokości wynosi 3:5. Oblicz długości boków tego równoległoboku.

Answer

kryjan August 2018 | 0 Replies

W trapezie równoramiennym długość wysokości wynosi 14 cm, przekątne sa do siebie prostopadłe a ich punk wspólny dzieli każdą w stosunku 1:3. Oblicz obwod trapezu.

Answer

Prawdopodobieństwo wygrania w pewnej loterii co najwyżej 5 zł wynosi 0,9, natomiast prawdopodobieństwo wygrania co najmniej 5 zł jest równe 0,2. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania dokładnie 5 zł.

W urnie jest pięć kul białych o numerach 1,2,3,4,5 oraz trzy kule czarne o numerach 1,2,3. Losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwsza wylosowana kula bedzie biała a druga będzie miała numer jeden

Cenę spodni obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 40%. O ile % cena zmniejszyła się w wyniku obu obniżek.

Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły złozonej z dwóch czworościanów foremnych sklejonych podstawami o krawędzi 6 cm.

Ratownik mający do dyspozycji linę długości 120 m ma wytyczyć przy brzegu plaży kąpielisko w kształcie prostokąta. Jakie wymiary powinno mieć kąpielisko, by jego powierzchnia była możliwie największa? Przyjmujemy, ze brzeg plaży tworzy linię prostą i nie umieszczamy przy nim liny.

Wyznacz te liczby x dla ktorych dodatnie liczby log8 (x-1); 3log8(x-1); 6 tworzą ciąg geometryczny. Uwaga: 8 napisane bezpośrednio po log to podstawa logarytmu

W pewnym ciągu geometrycznym różnica kwadratów pierwszego i drugiego wyrazu wynosi 12, zaś róznica kwadratu pierwszego i trzeciego wyrazu wynosi 15. Znajdź piąty wyraz tego ciągu.

Wiedząc że log з 20=a i log з 15=b, oblicz log ₂ 360.

W równoległoboku którego obwód jest równy 48 cm, stosunek wysokości wynosi 3:5. Oblicz długości boków tego równoległoboku.

W trapezie równoramiennym długość wysokości wynosi 14 cm, przekątne sa do siebie prostopadłe a ich punk wspólny dzieli każdą w stosunku 1:3. Oblicz obwod trapezu.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social