Question

W pewnym ciągu geometrycznym różnica kwadratów pierwszego i drugiego wyrazu wynosi 12, zaś róznica kwadratu pierwszego i trzeciego wyrazu wynosi 15. Znajdź piąty wyraz tego ciągu.

Answer 1

A₁² - a₂² = 12
a₁² - a₃² = 15

a₂ = a₁q wstawiam do w/w układu równań
a₃ = a₁q² wstawiam do w/w układu równań
powstaje układ 2 równań z dwiema niewiadomymi

a₁² -(a₁q)² = 12
a₁² - (a₁q²)² = 15

a₁² - a₁²q² = 12
a₁² - a₁²q⁴ = 15

a₁²(1-q²) = 12
a₁² ( 1-q⁴) =15

Z pierwszego równania wyznaczam a₁² i wstawiam do drugiego równania

a₁² = 12 : (1-q²)
12 : (1-q²) * ( 1-q⁴) =15

a₁² = 12 : (1-q²)
12 : (1-q²) * (1-q²)(1+q²) = 15

a₁² = 12 : (1-q²)
12*(1+q²) =15

a₁² = 12 : (1-q²)
(1+q²) =15 :12

a₁² = 12 : (1-q²)
(1+q²) =5 :4

a₁² = 12 : (1-q²)
q² = 5/4 - 1

a₁² = 12 : (1-q²)
q² = 1/4

a₁² = 12 : (1-q²)
q² - 1/4 = 0 stosuje wzór skróconego mnożenia
a² -b² = (a-b)(a+b)

a₁² = 12 : (1-q²)
(q -½ )(q+½ ) = 0

a₁² = 12 : (1-q²)
q = ½ lub q = -½


obliczam a₁ z pierwszego równania
a₁² = 12 : (1-q²)
a₁² = 12 : [ 1-(½ )²] lub a₁² = 12 : [ 1-(-½ )²]
a₁² = 12 : [ 1- ¼ ] lub a₁² = 12 : [ 1- ¼ ]
a₁² = 12 : ¾ lub a₁² = 12 : ¾
a₁² = 12 *4/3 lub a₁² = 12 * 4/3
a₁² = 16 lub a₁² = 16

Ponieważ oba rozwiazania a₁² sa takie same więc rozwiazuje jeden z nich
a₁² - 16 = 0
(a₁ - 4)(a₁ + 4 ) = 0
a₁ = 4 lub a₁ = - 4

a₁ = 4 lub a₁ = - 4
q = ½ lub q = - ½

Obliczam a₅ wyraz ciągu
a₅ = a₁ q⁴
a₅ = 4* (½ )⁴ lub a₅ =(- 4)* ( -½ )⁴
a₅ = 4* (1/16) lub a₅ = (- 4)* (1/16)
a₅ = ¼ lub a₅ = - ¼

odp. a₅ = ¼ lub a₅ = - ¼