Question

Wyprowadź wzór na sumę początkowych wyrazów szeregu:

Answer 1

Trzeba rozważyć 3 przypadki.

Po pierwsze: n jest podzielne przez 3. Wtedy łatwo zauważyć, że:



Po drugie: n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1:



Po trzecie: n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2:



Teraz musimy już tylko znaleźć takie wyrażenie (nazwijmy je ), które dla liczb podzielnych przez 3 przyjmie wartość 0, dających resztę 1 - wartość 1, zaś dla dających resztę 2 - wartość 3.

Zauważmy, że wyrażenie  przyjmuje cyklicznie wartości 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, etc.

Stąd już tylko krok do naszej alfy, bo najprościej będzie przyjąć, że to funkcja kwadratowa, która
, więc


Zbierając wszystko do kupy, dostajemy:



Czyli