Question

Wykaż, że ciąg:



jest zbieżny.

Answer 1

Ciag jest zbiezny, gdy posiada granice wlasciwa.
lim(1+1/n)^n=e
Z definicji Cauchy'ego wystarczy wziac dowolna liczbe naturalna
n>1/ε -e.
n>(1-e*ε)/ε
n*ε>1-e*ε
n*ε+e*ε>1
(n+e)*ε>1
ε>1/(n+e)
Dla ε=1/3 wszystkie wyrazy tego ciagu sa oddalone od e nie wiecej niz o 1/3.
Z tego wynika, ze ciag {an} jest zbiezny.