Question

wykaz ze jesli wspolczynniki trojmianu kwadratowego y=2x²+bx+c tworza ciag arytmetyczny (2,b,c) i ten trojmian nie ma miejsc zerowych to roznica r tego ciagu spelnia warunek r∈(6-4√3,6+4√3).

Answer 1

y = 2 x^2 + b x + c

oraz

2,b,c  - ciąg arytmetyczny

Trójmian nie ma miejsc zerowych, zatem

delta = b^2 - 4*2*c = b^2 - 8 c < 0

oraz z definicji ciagu arytmetycznego mamy

b -2 = c - b

2 b = 2 + c / : 2

b = 1 + c/2

=========

więc

delta = [ 1 + c/2]^2 - 8c = 1 + c + c^2/4 - 8c = (1/4) c^2  - 7c + 1

delta = (1/4) c^2 - 7 c + 1

---------------------------------

delta1 = (-7)^2 - 4*(1/4)*1 = 49 - 1 = 48 = 16*3

p(delta1) = 4 p(3)

c1 = [ 7 - 4 p(3)]/(1/2) = 14 - 8 p(3)

c2 = [ 7 + 4 p(3)]/(1/2) = 14 + 8 p(3)

czyli

 delta < 0  <=>  c  należy ( 14 - 8 p(3); 14 + 8 p(3) )

Obliczmy

b1 = 1 + c1/2 = 1 + 7 - 4 p(3) = 8 - 4 p(3)

b2 = 1 +c2/2 = 1 + 7 + 4 p(3) = 8 + 4 p(3)

Różnica ciągu arytmetycznego

r = c - b

czyli

r1 = c1 - b1 = 14 - 8 p(3) - ( 8 - 4 p(3)) = 6 - 4 p(3)

r2 = c2 - b2 = 14+ 8 p(3) - ( 8 + 4 p(3)) = 6 + 4 p(3)

zatem

delta < 0 <=> c należy do( 14 - 8 p(3); 14 + 8 p(3))  <=>

<=>  r  należy do ( 6 - 4 p(3); 6 + 4 p(3))

========================================

p(3) - pierwiastek kwadratowy z 3