Question

Wykaż, że liczby 2,3,5 nie mogą być wyrazami jednego rosnącego ciągu geometrycznego.

Answer 1

Zalozmy, ze:
q>1
2=a1*q^k
3=a1*q^n
5=a1*q^m
k<n<m  i k, n, m ∈ N

q^m/q^n=5/3
q^m/q^k=5/2

3q^m=5q^n
2q^m=5q^m

2q^m=10/3*q^n
2q^m= 5*q^m

10/3*q^n=5*q^m

2/3*q^n=q^m   sprzecznosc
bo
2/3<1 i n<m

Mozna jeszcze prosciej:
Niech:
(3/2)^m = (5/3)^n    m,n ∈N
sprzecznosc.
Liczby 2,3,5 sa liczbami pierwszymi. 3/2 i 5/3 sa ulamkami nieskracalnymi.
Po lewej stronie mianownik parzysty, po prawej nieparzysty.