Question

Wykaż że liczba
pod pierwiastkiem 66+16√2 + pod pierwiastkiem 66−16√2
jest liczbą wymierną

Answer 1

Oznaczmy: pierwiastek z pewnej liczby x jako sqrt(x)

Mamy pokazać, że wymierna jest liczba:

X = sqrt(66+16sqrt(2)) + sqrt(66-16sqrt(2))
Oczywiście x>0, bo x jest sumą pierwiastków

Korzystamy z wzoru skróconego mnożenia:
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b
i mamy:

X^2 = 66 + 16sqrt(2) + 66 - 16sqrt(2) + 2 * sqrt((66+16sqrt(2))) * sqrt((66-16sqrt(2)) =
= 132 + 2 * sqrt((66+16sqrt(2)) * (66-16sqrt(2)) = ...

i teraz z kolejnego wzoru skróconego mnożenia:
(a+b) * (a-b) = a^2 - b^2

... = 132 + 2 * sqrt(66^2 - (16sqrt(2))^2 )=
= 132 + 2 * sqrt(4356 - 16*16*2) = 132 + 2 * sqrt(4356 - 512) = 132 + 2 * sqrt(3844) = 132 + 2 * 62 = 132 + 124 = 256 = 16 * 16

Zatem X^2 = 16*16
czyli x=16 lub x=-16, ale wiemy, ze x>0, czyli x=16, co oczywiście jest liczbą wymierną

Answer 2

A=66+16√2 b=66−16√2
√a+√b=x |²
a+2√ab+b=x² - wzór na kwadrat sumy
66+16√2+2√(66+16√2)(66-16√2)+66-16√2=x²
132+2√(4356-512)=x² - wzór na różnicę kwadratów
132+2*62=x²
132+124=x²
x²=256
|x|=16
x=16, 16 jest liczbą wymierną

Answer 3

Liczba= 66+16√2 b = 66−16√2

a= 66+16√2 b = 66−16√2

√a+√b=x |²

a+2√axb+b=x²

66+16√2+2√x(66+16√2)x(66-16√2)+66-16√2=x²

66+16√2+2√(66+16√2)(66-16√2)+66-16√2=x²

132+2√(4356-512)=x²

132+2*62 = x²

132+124=x²

x²=256

|x|=16

ta liczba jest wymierna
Pozzostałe odpowiedzi są poprawne:)