Question

Wykaż, że liczba n³ + 5n jest podzielna przez 3 dla dowolnej liczby całkowitej n.

Bardzo proszę o rozwiązanie, zupełnie nie wiem jak mam się za to zabrać.

Answer 1

Np.: n=4

n(do potegi 3) = 5n = 64 =20 = 84
84:3=28

na innym przykładzie

n=2

2(do potegi 3) = 5*2= 8+10=18
18:3=6

Answer 2

Indukcja matematyczna
I. sprawdzam dla n = 1
1³ + 5*1 = 1 + 5 = 6 = 2*3
Dla n = 1 zachodzi podzielność przez 3.
II. zakładam prawdziwość podzielności liczby zapisanej w podany sposób dla n = k, czyli że zachodzi
k³ + 5k = 3*t
III. muszę teraz wykazać, że z prawdziwości podzielności liczby dla n = k,wynika prawdziwość podzielności dla n = k+1
dowód:
(k+1)³ +5*(k+1) = k³ +3k² + 3k +1 + 5k +5 =
= ( k³ +5k) + (3k² + 3k + 6 ) = 3*t + 3*(k² + k + 2) =
= 3*(t + k² + k + 2) = 3* s
s - jest liczba całkowitą
Na mocy indukcji matematycznej dla dowolnej liczby naturalnej
n liczba postaci n³ + 5n jest podzielna przez 3.
Podobny dowód dla n całkowitej ujemnej.