Question

Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 10. Oblicz długość trzeciego boku, jeżeli wiadomo, że środkowa poprowadzona do tego boku ma długość 6.

Proszę też o rysunek.

Answer 1

ABC - dany trójkąt (patrz załącznik)
AB, BC, AC - boki trójkąta
CD - środkowa trójkąta( z def. odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku)
CE - wysokość trójkąta ABC i trójkąta ACD

z treści zadania:
|AC| = 6
|BC| = 10
|CD| = 6
|AD| = |DB| = ½ * |AB| (z def. środkowej trójkąta)

ΔACD - równoramienny, bo |AC| = |CD| = 6
|AE| = |DE| = ½ * |AD| (z własności Δ równoramienny)
stąd
|AE| = ½ * |AD| = ½ * ½ * |AB| = ¼ * |AB|
|DE| = ½ * |AD| = ½ * ½ * |AB| = ¼ * |AB|

natomiast z tw. Pitagorasa
|AC|² = |AE|² + |CE|²
|CE|² = |AC|² - |AE|²
|CE|² = 6² - (¼ * |AB|)²
|CE|² = 36 - ¹/₁₆|AB|²

ΔBCE - trójkąt prostokątny
|BE| = |DE| + |BD|
|BE| = ¼ * |AB| + ½ * |AB| = ¾ |AB|
z tw. Pitagorasa
|BC|² = |CE|² + |BE|²
|CE|² = |BC|² - |BE|²
|CE|² = 10² - (¾ |AB|)²
|CE|² = 100 - ⁹/₁₆ |AB|²

36 - ¹/₁₆|AB|² = 100 - ⁹/₁₆ |AB|²
- ¹/₁₆|AB|² + ⁹/₁₆ |AB|² = 100 - 36
⁸/₁₆ |AB|² = 64
½ |AB|² = 64 /*2
|AB|² = 64*2
|AB| = √64*2
|AB| = 8√2