Question

Wykaż, że jeśli przekątna w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym jest nachylona do podstawy pod katem 30* to stosunek pola podstawy do pola ściany bocznej graniastosłupa jest równy pierwiastek z 3 : pierwiastek z 2

Answer 1

A - krawędź podstawy
h - wysokość graniastosłupa
Mamy trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to przekątna podstawy = a√2 i wysokość = h, a przeciwprostokątna to przekątna graniastosłupa.
Kąt 30° jest między przekątną podstawy a przekątną graniastosłupa.
h / a√2 = tg30°
h / a√2 = √3 / 3
3h = a√2 × √3
3h = a√6
h = a√6 /3
Pole podstawy
Pp = a²
Pole ściany bocznej
Pb = a × h = a × a√6 / 3 = a²√6 / 3
Pp / Pb = a² / a²√6 / 3 = 3 / √6 = 3 /√3×√2  × √3/√3 = 3√3 / 3√2 = √3 / √2