Question

Wykaż, że jeżeli na bokach dowolnego trójkąta skonstruujemy na zewnątrz trójkąty równoboczne, to trójkąt powstały przez połączenie ich środków ortycznych jest równoboczny.

Answer 1

Najpierw wykażmy, że odcinki AE, BF i CD są równej długości
Rozważmy obrót o 60 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem punktu A.
wówczas punkt F przejdzie na punkt C oraz punkt B na F jako, że zbudowano trójkąty równoboczne. Zatem cały odcinek CD przejdzie na BF Obrót jest izometrią czyli zachowuje długości odcinków, więc CD = BF i analogicznie mamy równość z odcinkiem AE
kąt MAK jest równy kątowi CAD
Oraz można wyznaczyć odcinki MA i AK w zależności od boków


zatem trójkąty MAK i CAD są podobne
zatem z podobieństwa mamy również

no i analogicznie możemy stwierdzić
i
Ale wykazaliśmy, że odcinki AE, BD i CF są równej długości zatem mamy również, że MK, KL i LM są równej długości, czyli trójkąt jest równoboczny