Question

Wykaż, że funkcja kwadratowa f(x) = -x² + 4x + 5 jest rosnąca w zbiorze (-∞ , 2).

Napisałam piękną tezę i założenie, przeprowadziłam dowód, po czym wyszło mi, że funkcja jest malejąca. (:

Proszę o pomoc! :)

Answer 1

f(x) = -x² + 4x + 5

----------------------------

-x² + 4x + 5 = 0

Liczymy deltę:

Δ = 4²-4·(-1)·5

Δ = 16+20

Δ = 36

Znajdujemy współrzędne wierzchołka paraboli:

p =

q =

 

Teraz musimy ustalić, czy parabola będzie miała ramiona w górę, czy w dół. Wartość współczynnika a jest liczbą ujemną, zatem parabola ma ramiona skierowane w dół.

 

Skoro ramiona paraboli są skierowane w dół, to od -∞ do współrzędnej x paraboli (2) funkcja musi być rosnąca, a od 2 do +∞ funkcja jest malejąca.

 

Answer 2

f(x) = - x² + 4x + 5

x₁, x₂ ∈ (-∞ , 2) ∧ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

Zał.: x₁, x₂ ∈ (- ∞: 2) ∧ x₁ < x₂

Teza: f(x₁) < f(x₂)

Dowód:

f(x₁) < f(x₂) ⇒ f(x₁) - f(x₂) < 0

f(x₁) - f(x₂) = (- x₁² + 4x₁ + 5) - (- x₂² + 4x₂ + 5) = - x₁² + 4x₁ + 5 + x₂² - 4x₂ - 5 = x₂² - x₁² + 4x₁ - 4x₂ = (x₂² - x₁²) - 4·(- x₁ + x₂) = (x₂ - x₁)(x₁ + x₂) - 4·(x₂ - x₁) = (x₂ - x₁)(x₁ + x₂ - 4) < 0 

Zatem:

f(x₁) - f(x₂) < 0

Stąd:

f(x₁) < f(x₂)

cbdu

 

--------------

Z założenia x₁ < x₂ ⇒ 0 < x₂ - x₁, czyli x₂ - x₁ > 0, zatem (x₂ - x₁) jest liczbą dodatnią

 

x₁ i x₂ nie są większe od dwóch, wynika to z założenia x₁, x₂ ∈ (- ∞: 2),czyli ich suma jest mniejsza od 4, zatem x₁ + x₂ < 4 ⇒ x₁ + x₂ - 4 < 0, czyli (x₁ + x₂ - 4) jest liczbą ujemną

 

Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną, zatem (x₂ - x₁)(x₁ + x₂ - 4) < 0