Question

Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają jednakową długość a jego pole powierzchni bocznej wynosi 36 pierwiastków z 3 cm kwadratowych .Oblicz V tego ostrosłupa

Answer 1

Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają jednakową długość a jego pole powierzchni bocznej wynosi 36 pierwiastków z 3 cm kwadratowych .Oblicz V tego ostrosłupa

 

a - krawędź podstawy (= krawedź kwadratu) ostrosłupa

b - krawędź boczna ostrosłupa

a = b

H - wysokość ostrosłupa

hs- wysokość sciany bocznej

Pb = 36√3 cm²  - pole boczne ostrosłupa

 

V = ? - objetość ostrosłupa

 

1. Obliczam wysokość hs ściany bocznej

 z tw. Pitagorasa

(½a)² + (hs)² = b²

b = a

 ¼a² +( hs)² = a²

          (hs)² = a² - ¼a²

          (hs)² = ¾a²

            hs = ½a√3  

 

2. Obliczam krawedź a ostrosłupa

Pb = 4*½a*hs

Pb = 2a*hs

Pb = 36√3 cm²

2a*hs = 36√3     /:2

 a*hs = 18√3

 a*(½a√3) = 18√3

 ½*a²*√3 = 18√3       /*2

     a²*√3 = 36*√3      /:√3

     a² = 36

     a = √36

     a =  6 cm

 

2. Obliczam pole podstawy (= pole kwadratu)

Pp = a²

Pp = (6 cm)²

Pp = 36 cm²

 

3. Obliczam wysokość H ostrosłupa

z tw. Pitagorasa

(½a)²+ H² = (hs)²

¼a² + H² =  (½a√3)²

          H² = ¼a²*3 -¼a²

          H² = ¾a² - ¼a²

          H² = ½a²

          H² = ½*(6 cm)²

          H² = ½* 36 cm²

          H² = 18 cm²

          H = √18 = √(9*2) = √9*√2 = 3√2 cm

          H = 3√2 cm

 

4. Obliczam objetość ostrosłupa

V = ⅓*Pp*H

V = ⅓* 36 cm²*3√2 cm

V = 36*√2 cm³