Question

Witam serdecznie.Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych trzech zadań z Matematyki.Rozwiązywałam je ale wyniki mi nie pasują.Trzeba pisać do każdego przykładu wzory.Błagam a zarazem proszę o pomoc.Będę bardzo wdzięczna.

1.Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli o danym równaniu.

a).y=2x²-3

b).y=x²+4x+4

c).y=x²+4x-1

d).y=2x²+4x+6

2.Zapisz w postaci kanonicznej i narysuj wykres:

a).y=x²+6x+9

b).y=3x²-6x+3

c).y=x²+4x-1

d).y=2x²+4x+6

(Proszę narysujcie mi te wykresy,błagam)

3.Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:

a).y=x²+4x+5

b).y=-2x²+4x+1

c).y=-2x²-12x-20

d).y=½x²+x

Proszę o pomoc.Będę bardzo wdzięczna.

Answer 1

z.1

y = a(x- p)² + q  - postać kanoniczna   W = (p ; q)

a) y = 2x² - 3 = 2(x - 0)² - 3

zatem  p = 0 ; q = - 3  oraz  W = (0; -3)

===================================

lub

p = -b/(2a) = -0/2a = 0

Δ = b² - 4ac = 0² - 4*2*(-3) = 0 + 24 = 24

q = -Δ/(4a) = - 24/[4*2] = -24 /8 = - 3

---------------------------------------------------------------

b)

y = x² + 4x + 4 = (x + 2)² + 0

p = -2 ; q = 0   oraz  W = (-2; 0)

lub II sposobem

-------------------------------------------------------------------

c)

y = x² + 4x - 1 = (x +2)² - 5

spr. (x+2)² - 5 = x² +4x + 4 - 5 = x² +4x - 1

zatem p = -2 ; q = -5  oraz W = (-2 ; -5)

d)

y = 2x² + 4x + 6 = 2(x +1)² +4

spr. 2(x + 1)² + 4 = 2[x² +2x +1] + 4 = 2x²+ 4x + 2 + 4 =2x² + 4x + 6

zatem p = -1 ; q = 4  oraz W = (-1; 4)

lub II sposobem

p = -b/(2a) = -4/(2*2) = -4/4 = -1

Δ = b² - 4ac = 4² -4*2*6 = 16 - 48 = - 32

q = -Δ/(4a) = 32/(4*2) = 32/8 = 4

================================================================

z.2

a) y = x²+6x + 9 = (x +3)² + 0

p = -3 ; q = 0  zatem W = (-3; 0 )

Rysujemy wykres jak dla funkcji y = x² ale o wierzchołku W = (-3;0)

---------------------------------------------------------------------------------

b)

y = x² - 6x + 9 = ( x -3)² + 0

p = 3; q = 0;  W = (3 ; 0 )

Rysujemy wykres jak dla funkcji y = x² ale o wierzchołku W = (3 ; 0)

------------------------------------------------------------------------------------

c)

y =x² + 4x - 1 = ( x +2)² - 5   <--- patrz z.1

p = -2;  q = -5 ; W = (-2; -5)

Rysujemy wykres jak dla funkcji y = x², ale o wierzchołku W = (-2; -5)

----------------------------------------------------------------------------------

d)

y = 2x² + 4x + 6 = 2(x +1)² + 4   <--- patrz z.1

p = -1; q = 4; W = (-1 ; 4)

-----------------------------------------------------------------------------------

z.3

a) y = x² + 4x + 5

a =1 , b = 4, c = 5

Δ = b² -4ac = 4² -4*1*5 = 16 - 20  = -4 < 0

Funkcja nie ma zatem miejsc zerowych; a = 1 > 0 zatem y > 0 dla każdego x

p = -b/(2a) = -4/2 = -2

Poniewaz a =1 > 0  zatem funkcja maleje dla x < p = -2   oraz rośnie

dla x > -2.

-----------------------------------------------------------------------------------------

b)

y = -2x² + 4x + 1

Δ =4² -4*(-2)*1 = 16 +8 = 24 > 0

p = -b/(2a) = -4/(-4) = 1

oraz a = -2 < 0 zatem funkcja jest rosnąca dla x < p = 1 , oraz malejąca dla

x > 1

-----------------------------------------------------------------------------------------

√Δ = √24 = √4* √6 = 2√6

Funkcja ma 2 miejsca zerowe:

x1 = [ -b - √Δ]/(2a) = [-4 -2√6]/(-4) = 1 + 0,5 √6

x2 = [ -b + √Δ]/(2a) = [-4 +2√6]/(-4) = 1 - 0,5 √6

x2 < x1

-----------------------------------------------------------------------------------------

c) y = -2x² - 12x - 20

p = -b/(2a) = 12/(-4) = -3

oraz a = -2 < 0

zatem funkcja rośnie dla x < p = -3 oraz maleje dla x > -3

--------------------------------------------------------------------------------

d)

y = ⅓ x² + x

p = -b/(2a ) = 0/(2a) = 0

oraz  a = ⅓ > 0  zatem funkcja maleje dla x < p = 0  oraz rośnie dla x > 0.

-----------------------------------------------------------------------------------------