Question

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:

a) z^3-8=0

b) z^4-81=0

Answer 1

z^3-8 = 0

z^3 = 8 ;  φ=0

 

pierwszy pierwiastek   ma argument ( kąt  φ)  równy (1/ stopień pierwiastka)  argumentu pierwiastkowanej liczby , w obu przypadkach  pierwiastkowana jest liczba rzeczywista  ich argument to 0  stąd pierwsze rozwiązanie z argumentem =  0 pi

 

IzI =2 ;  φ=0

 

wszystkie rozwiązania  są wierzchołkami  figury symetrycznej, przy pierwiastku 3 stopnia  trzy rozwiązania, przy pierwiastku 4 stopnia -  cztery

 

w postaci wykłaniczej  ;  trygonometrycznej   ;   kanonicznej

z1= 2 · e^ (i0π / 3 )   = 2( cos 0 + i sin 0 )  =  2 + i0

z2 = 2 · e^ (i2π / 3 )  = 2( cos (2π / 3 ) +isin (2π / 3 ) ) = -1 + i √3

z3 = 2 · e^ (i4π / 3 )  = 2( cos (4π / 3 ) +isin (4π / 3 ) ) = -1 - i √3

 

drugi przykład

 

z^4-81= 0

z^4 = 81 ; φ=0

 

IzI = 3 ;  φ=0

 

z1 = 3 · e^ (i0)      = 3 ( cos 0 + i sin 0 )             =  3 + i 0     = 3

z2 = 3 · e^ (iπ/2)   = 3 ( cos π/2 + i sin π/2 )     =  0 + i 3    = 3i

z3 = 3 · e^ (iπ)      = 3 ( cos π + i sin π )             =  -3 + i 0   =-3

z4 = 3 · e^ (i3π/2) = 3 ( cos 3π/2 + i sin 3π/2 )  =  0 - i 3    = -3i