Question

w układzie współrzędnych komputerowym (ox normalnie, oy odwrócone) trzeba obliczyć jeden z punktów
- załacznik

mam DUZE S, DUZE R, małe s małe r.
jak obliczyć P ?

można to liczyć sinusami i kosinusami ale jest to zbyt zachłanne podejscie - komputer nie lubi liczyć kątów.

jak to zrobić aby mając xy punktu środkowego i xy środka małego koła policzyć najbardziej przeciwległy punkt na okręgu

stałe
S=(488,308
R=223
r=32
Zmienne - bo zmieniają sie dla każdego wierzchołka...

Answer 1

"można to liczyć  sinusami i kosinusami ale jest to zbyt zachłanne podejscie - komputer nie lubi liczyć kątów."

Nieprawda, wręcz trzeba to zrobić funkcjami trygonometrycznymi.
Nie ma to nic wspólnego z zachłannościa tak jak napisałeś.
Jest to jedyne słuszne podejście.
Uzasadnieniem są metody numeryczne które są właśnie po to stworzone.
Myślę że jest to niepodważalny dowód jak bardzo się mylisz.

Można funkcje trygonometryczne przybliżyć np ze wzoru (szeregu) Taylora w otoczeniu 0:
Wtedy mamy takie wzory:
sin x = x - x^3/6 + x^5/120
cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24
lub dorobine bardziej dokladnie:
sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040
cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720

Wykres1 przedstawia funckej
niebieska - sin x
rozowa - x - x^3/6 + x^5/120
zolta - x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040

Wniosek z wykresu:
Jak widać żółta krzywa lepiej przybliża funkcje sin x na przedziale 0-180 stopni, ale nadal nie jest to za dobre przyblizenie.
Im dalej punkty oddalone są od punktu otoczenia ( 0 stopni) tym błąd bezwzględny jest większy.

Wykres2:
niebieska - sin x
rozowa - x - x^3/6 + x^5/120
zolta - x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040

Wykres przedstawia funkcje na przedziale 0-360.

Wnioski:
Jak widzimy funkcje zaczynają się wyraźnie 'rozjeżdzać'.
Dla kątów powyżej 180 stopni jest to już bardzo słabe przybliżenie.
Oba wielomiany są wyraźnie za niskiego stopnia by przybliżyć w dobrym stopniu krzywą.

Wykres3:

Wykres przedstawia narysowane okręgi z tak przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych na przedziale 0 -180 stopni (jak już wiemy dla większego przedziału nie ma to sensu - wykres2 !!)

niebieski - sin i cos bez Taylora
roznowy - Taylor 3 wyrazy
zolty  - Taylor 4 wyrazy

Wnioski:
Krzywa żółta najlepiej przybliża nasz okrąg  na przedziale 0-180 stopni.
sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040
cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720
Niestety dla kątów większych jak 100 stopni wyraźnie sie 'rozbiega' z niebieskim okręgiem.

Jak widzisz żaden z przybliżeń nie nadaje się za dobrze.

Może dopiero :
sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + x^9/9! - x^11/11!
cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + x^8/8! - x^10/10!

będzie wystarczającym przybliżeniem by twór jaki powstanie przypominał połówkę okręgu na przedziale 0-180 stopni.

Dla przedziału -180 - 0 oczywiście odbija się tylko wartości sinusa (zmienia się jego znak).

 

Powyższe wzoy możesz zastosować do obliczenia przybliżonych wartości sin i cos. Natomiast samo rozwiązanie zawiera funkcje trygonometryczne i ich nie da się uniknąć. Są właśnie po to stworzeone i dlatego właśnie tak obszernie wykorzystywane.

Rozwiązanie:

P = (Px, Py)
Px = (R+2r)cos alfa
Py = (R+2r)sin alfa