Question

w trójkąt prostokątny wpisujemy prostokąt w taki sposób ,że dwa jego boki są zwarte w przyprostokątnych a jeden wierzchołek leży na przeciwprostokątnej. Długości przyprostokątnych wynoszą 5cm i 12 cm. Jakie muszą być wymiary prostokąta, aby jego pole było największe?

Answer 1

Niech ABC będzie danym trójkątem prostokątnym

i niech I AB I = 12 cm, I BC I = 5 cm

KBLM  prostokąt wpisany w dany trójkąt.

Niech  I KB I = I L M I = x  oraz  I B L I = I K M I = y

Mamy

P = x*y

oraz

5 / y = 12/(12 - x)

czyli

y = [ 5 *(12 - x)]/12 = (5/12)*(12 - x)

Pole prostokąta mozna wyrazić wzorem

P( x ) = x*(5/12)*(12 - x)

P( x ) = (5/12)*x*( 12 - x)

P( x) = ( - 5/12)* x *( x - 12)  = ( -5/12) x^2 + 5 x

=========================

Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku  a = - 5/12 < 0, zatem

przyjmuje wartość największą dla x = p = - b/(2a)

x = - 5/ ( -10/12) = 6

======================

Wtedy

y = ( 5/12)*(12 - 6) = (5/12)*6 = 2,5

===================================

Odp.

Aby pole prostokąta było największe musi  mieć długość  6 cm  i szerokość 2,5 cm.

======================================================================