Question

W trójkącie prostokątnym, którego długości boków wyrażają się liczbami całkowitymi, wartości liczbowe pola i obwodu są równe. Wyznacz wszystkie możliwe wartości d, gdzie d jest odległością między środkami okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt. Wyznacz stosunek sumy dlugości środkowych tego trójkąta, do sumy okręgów dopisanych na tym trójkącie.

Answer 1

Najpierw wyznaczamy boki trójkątów spełniające warunki zadania.
Pole jest równe obwodowi i trójkąt jest prostokątny.
Przyjmijmy, że przyprostokątne mają długości boków a, b a przeciwprostokątna c
A zatem pole to
natomiast obwód to
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa przyrównujemy strony do siebie i mamy

I pozostaje rozwiązać to równanie w liczbach całkowitych dodatnich jako, że to boki trójkąta.
Przenosimy a i b na drugą strone i mnożymy przez 2 by nie operować na ułamkach

Podnosimy stronami do kwadratu

Redukujemy wyrazy podobne i zauważamy, że możemy podzielić potem stronami przez ab, jako, że występuje w każdym składniku i wcześniej wspomniane zostało, że ani a ani b nie jest zerem.
zatem mamy



a stąd mamy zważając na symetrię między a i b pary
(a-4) = 1, (b-4) = 8 i (a-4) = 2, (b-4) = 4
Czyli dostajemy trójkąty o przyprostokątnych odpowiednio (5,12) i (6,8).
Od razu zauważamy, że spełniają one warunki zadania.
Dalej przyda się nam jeszcze przeciwprostokątna w tych trójkątach, ktora wynosi odpowiednio 13 i 10.
Jako, że już mamy dwa konkretne trójkąty to wskazane polecenia nie są już szczególnie trudne.
Do wypisania odległości d, nie chcąc wyprowadzać posłużę się znanym twierdzeniem udowodnionym przez Eulera dla dowolnego trójkąta
Gdzie R i r to promienie okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt.
Jako, że w trójkącie prostokątnym znane są wzory na długość promienia okręgu opisanego (c/2) i wpisanego (r = (a+b-c)/2) wystarczy wstawić je do wzoru
Dla pierwszego trójkąta wartości te wynoszą 6,5 i 2, zatem , a dla drugiego 5 i 2 czyli
Na promienie okręgów dopisanych w trójkącie prostokątnym również można znaleźć wzory



A stąd suma promieniów okręgów dopisanych wynosi a zatem wynosi ona w podanych trójkątach odpowiednio
28 i 22.
Natomiast długości dwóch środkowych do przyprostokątnych liczymy z twierdzenia pitagorasa i mamy

Trzecia środkowa pokrywa się z promieniem okręgu opisanego więc wynosi ona c/2
zatem w wyznaczonych trójkątach wynoszą one
w pierwszym



a w drugim



No i zatem stosunek ten nie jest zbyt przyjemny (konkretnie trzeba poprostu przepisać sume ;), jako, ze te wartości się nie redukują