Question

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola koła opisanego na tym trójkącie.

Answer 1

Rysunek trójkąt A B C kąt prosty przy A przy czym AB to podstawa trójkąta a wierzchołek C lezy nad wierzchołkiem A
bok |AB|=x |BC|=2x
jezeli trojkat prostokatny jest opisany to srodek okregu opisanego jest na polowie przeciwprostokatnej. srodek okregu opisanego to S
zatem |BS|=x i |SC|=x i |SA|=x skoro mamy promien mamy i pole wzor na pole okregu opisanego
P₀=πR²=πx²
zauwaz ze trojkat ASC jest rownoramienny a trojkat ASB jest rownoboczny zatem katASC=120⁰
zatam pozostale katy SAC i SCA maja po 30⁰
dorysuj prosta prostopadla z punktu S do prostej AC i oznacz tam punkt J
teraz trojkat JSC ma katy 60 30 i 90 a znasz dlugość SC=x
stad |JC|=(x√3)/2 a |AC|=x√3
promien okregu wpisanego
r=(a+b-c)/2
r=(x+x√3-2x)
r=x(√3-1)
P₁=r²=πx²(4-2√3)
stosunek
P₁/P₀=πx²(4-2√3)/πx²=4-2√3