Question

W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta ostrego dzieli bok przeciwległy w stosunku 2 : 3. Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.

Answer 1

Mamy trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, gdzie c jest przeciwprostokątną.
Dwusieczna dziel bok a w stosunku 2:3, zatem b/c=2/3 (Wynika to z twierdzenia o dwusiecznych)
Zakładamy, że:
c=3n
b=2n
Wtedy z twierdzenia Pitagorasa można wyznaczyć
a=√5 n
Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie długości przeciwprostokątnej, zatem:
R=3/2 n
Długość promienia okręgu wpisanego wyznaczymy ze wzoru:
r=2P/ (a+b+c)
P=ab/2 = √5 n²
Podstawiamy do wzoru i liczymy:
r=(2√5n²)/(2n+√5n+3n)=2√5n/5+√5
Stosunek pól kół wyraża się następująco:
P zero / P w = (R/r)²
R/r=(3n/2)(5+√5/2√5n)=
= 3(5+√5)/4√5=
= 3(5+√5)*√5/4√5*√5=
= 3(5+5√5)/20=
=3(1+√5)/4


(R/r)²=(3(1+√5)/4)²=
=(3(√5+1))²/16=
=9(5+2√5+1)/16=
=9(2√5+6)/16=
=9(3+√5)/8