Question

W równoległoboku dwa sasiednie boki maja dlugosc 5k i 14-2k, a kat miedzy nimi ma miarę , gdzie k jest parametrem, k>0. Dla jakiej wartości parametru k:
a) na rownolegloboku mozna opisac okrag
b) w rownoleglobok mozna wpisac okrag

Answer 1

ABCD - dany równoległobok

a, b - sąsiednie boki równoległoboku

α, β - przeciwległe kąty w równoległoboku

 

W równoległoboku:

- przeciwległe boki są tej samej długości:

|AB| = |CD| = a

|BC| = |AD| = b

- przeciwległe kąty są równe:

|α| = |β|

 

 

a)

Na równoległoboku (czworokącie) można opisać okrąg jeśli suma przeciwległych kątów wynosi 180°.

Zatem:

Stąd:

zatem równoległobok musi być prostokątem.

 

b)

W równoległobok(czworokąt) można wpisać okrąg jeśli sumy długości przeciwległych boków tego równoległoboku (czworokąta) są równe.

Zatem:

|AB| + |CD| = |BC| + |AD|

Stąd:

a + a = b + b

2a = 2b

2·5k = 2·(14 - 2k)

10k = 28 - 4k

10k + 4k = 28

14k = 28 /:14

k = 2

a = 5k = 5·2 = 10

b = 14 - 2k = 14 - 2·2 = 14 - 4 = 10

a = b

zatem równoległobok musi być kwadratem.