Odwód prądu zmiennego zasilano napięciem o zmieniającej się częstości. Dla jakiej częstości całkowit.... Question from @Thelajcik

December 2018 1 13 Report

Odwód prądu zmiennego zasilano napięciem o zmieniającej się częstości. Dla jakiej częstości całkowity prąd będzie największy? Jaka będzie wartość prądu przy częstości f= 50/ $\pi$ Hz. Dane są R=10Ω, L=2μH, C=4μF. Proszę zwróci uwagę na wartości podczas rachunków (wiele upraszczają).

aczo A. Impedancja zastępcza obwodu wyraża się wzorem:

$Z=R+\frac{j\omega L\frac{1}{j\omega C}}{j\omega L +\frac{1}{j\omega C}}=R+\frac{\frac{L}{C}}{j\omega L +\frac{1}{j\omega C}}=R+\frac{-j\omega L}{j^2\omega^2LC+1}=R+j\frac{\omega L}{1-\omega^2LC}$

Prąd w obwodzie:
$|I|=\frac{|U|}{|Z|}$

Moduł impedancji (zawada):
$|Z|=\sqrt{R^2+\frac{\omega^2 L^2}{(1-\omega^2LC)^2}}$

Szukamy ekstremów - pochodna (pomijam kroki wyliczeń, które są żmudne acz trywialne i nie wnoszą nic ciekawego do zadania):
$\frac{\partial}{\partial\omega}|Z|=-\frac{L^2(\omega+\omega^3LC)}{(LC\omega^2-1)^3\sqrt{R+\frac{\omega^2L^2}{(1-\omega^2LC)^2}}}$

$L^2(\omega+\omega^3LC)=0$

$\omega(1+\omega^2LC)=0$

Jak widzimy z powyższego, awada posiada ekstremum dla częstości równej 0 (tam funkcja osiąga minimum i dla niej prąd będzie największy).

Obserwując wzór określający moduł impedancji możemy zauważyć, że ciekawe zjawisko wystąpi dla $\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ , czyli tak zwanej częstości rezonansowej.

Wówczas moduł impedancji jest nieskończony, a przez źródło nie płynie w ogóle prąd:

$|Z|=\sqrt{R^2+\frac{(\frac{1}{\sqrt{LC}})^2 L^2}{(1-(\frac{1}{\sqrt{LC}})^2LC)^2}}=\sqrt{R^2+\frac{(\frac{1}{\sqrt{LC}})^2 L^2}{(1-\frac{1}{LC}LC)^2}}=\\\sqrt{R^2+\frac{(\frac{1}{\sqrt{LC}})^2 L^2}{(1-1)^2}}=\sqrt{R^2+\frac{(\frac{1}{\sqrt{LC}})^2 L^2}{0}}=\sqrt{R^2+\infty}\rightarrow \infty$

Oczywiście nieskończona zawada występuje tylko dla elementów idealnych, rzeczywista cewka zawsze będzie cechowała się oporem wewnętrznym (który w zadaniu przyjmujemy za zerowy, a rzeczywisty kondensator zawsze ma jakąś upływność, której w zadaniu nie zakładamy). Tak czy inaczej w rzeczywistych obwodach dla częstotliwości rezonansowych impedancja takiego połączenia jest bardzo duża.

Poniżej częstotliwości rezonansowej decydującą rolę w połączeniu LC odgrywa cewka, której impedancja jest stosunkowo niewielka w porównaniu z kondensatorem.

Powyżej częstotliwości rezonansowej większy wpływ na zachowanie części LC ma kondensator - cewka dla wielkich częstotliwości ma dużą impedancję (powyżej pewnego progu jest praktycznie rozwarciem), a impedancja kondensatora maleje (powyżej pewnego progu można go traktować jako zwarcie). Oczywiście w tych rozważaniach mamy na myśli moduł impedancji, nie przesunięcie fazowe, o którym (i wpływie elementów reaktancyjnych na nie) nie należy zapominać.

B. Wartość prądu dla częstotliwości $\frac{50}{\pi} [Hz]$ :

$\omega=2\pi\cdot f=2\pi\frac{50}{\pi}=100$

$|I|=\frac{|U|}{|Z|}=\frac{U}{\sqrt{100+\frac{100^2 (2\cdot 10^{-6})^2}{(1-100^2\cdot 2\cdot 10^{-6}\cdot 4\cdot 10^{-6})^2}}}=\frac{U}{\sqrt{100+\frac{10^4 \cdot 4\cdot 10^{-12}}{(1-10^4\cdot 8\cdot 10^{-12})^2}}}=\frac{U}{\sqrt{100+\frac{4\cdot 10^{-8}}{(1-8\cdot 10^{-8})^2}}}\approx\boxed{\frac{U}{10}}$

Jak widać dla tej częstotliwości reaktancja jest niewielka - opornik stanowi większą część impedancji, z niewielkim błędem można przy tej częstotliwości potraktować cewkę jako zwarcie kondensatora.