Question

W PIERŚCIENIU WIELOMIANÓW Z23[X] NAD CIAŁEM Z23 PODZIEL WIELOMIAN 12X7+22X5+5X2+3X+1 PRZEZ WIELOMIAN 12X2+15X+7. PODAJ WYNIK DZIELENIA ORAZ RESZTĘ Z DZIELENIA

Answer 1

Najpierw opis: Ogólnie to dzielimy tak samo jak normalnie. Można np. pod kreską. Różnica jest taka, że wszystkie działania nie są nad liczbami rzeczywistymi tylko nad ciałem , zatem wszystkie obliczenia wykonujemy modulo 23.

 

Bardzo niewygodnie się tu zapisuje mnożenie pod kreską, ale spróbujmy:

 

x^5 + 16x^4 + 10x^3 + 5x^2 + 9x + 15

---------------------------------------------------------

12x^7 + 22x^5 + 5x^2 + 3x + 1 : 12x^2 + 15 x + 7

-/ 12x^7 + 15x^6 + 7x^5
---------------------------------------------------------

8x^6 + 15x^5 + 5x^2 + 3x + 1

-/ 8x^6 + 10x^5 + 20x^4
---------------------------------------------------------

5x^5 + 3x^4 + 5x^2 + 3x + 1

-/ 5x^2 + 12x^4 + x^3
---------------------------------------------------------

14x^4 + 22x^3 + 5x^2 + 3x + 1

-/ 14x^2 + 6x^3 + 12x^2
---------------------------------------------------------

16x^3 + 16x^2 + 3x + 1

-/ 16x^3 + 20x^2 + 17x

---------------------------------------------------------

19x^2 + 10x + 1

-/ 19x^2 + 18x + 13
---------------------------------------------------------

15x + 11

 

Tak jak mówiłem wcześniej wszystkie działania modulo 23, np w ostatnim odejmowaniu: 19x^2 + 10x + 1 - (19x^2 + 18x + 13) = 15x + 11 mod 23. Wynik otrzymujemy następująco (po współczynnikach):

19 - 19 = 0 mod 23

10 - 18 = -8 = 15 mod 23 (bo 23 - 8 = 15)

1 - 13 = -12 = 11 mod 23