Question

W pewnej firmie funkcja kosztow calkowitych wyraza sie wzorem:
K(x) = 5x + 1000
, natomiast cena rynkowa na ten towar to:
P(x) = 800 - 0,1x
, gdzie x oznacza liczbę wyprodukowanych sztuk towaru.

Znajdź poziom produkcji x maksymalizujący zysk tej firmy.

Answer 1

Jeżeli jedna sztuka kosztuje 800 - 0,1 x
to sa wyprodukowanie x towarów otrzymamy x(800-0,1x) złotych.
By zysk był największy to różnica Ceny za jaką sprzedamy a kosztów musi być jak największa. Stąd należy obliczyć największą wartość funkcji  Zysku:

Jest to parabola o współczynniku przy x^2 ujemnym. Więć wystarczy
rozwiązać Z ' (x) = 0  i mamy tę ilość sztuk, która maksymilizuje zysk:


Drugim sposobem obliczenia tego maksimum jest wyznaczenie współrzędnej "x" wierzchołka paraboli ze wzoru:


Odpowiedź:  Należy sprzedać 3 975 aby zysk był maksymalny. 

Answer 2

Zysk to nadwyżka przychodów nad kosztami
Przychody = cena*ilość

P(x) * x > K(x)
(800 - 0,1x)x > 5x + 1000
800x - 0,1x² - 5x - 1000 > 0
-0,1x² + 795x - 1000 > 0

Rozwiązuję jak zwykłe równanie kwadratowe:
delta = b² - 4ac = 25281 - 4*(-0,1)*(-200) =
pierwiastek z delty =


800 - 0,1x > 5x +1000
800 - 1000 > 5,1x
5,1x < - 200 {tu NIE zmieniłam znaku nierówności, po prostu odwróciłam strony w samym zapisie}
x <