Question

W ostrosłupie trójkątnym podstawa jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, w którym długość przeciwprostokątnej jest równa 12cm. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe i mają długość 12cm.

a) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa. b) Wyznacz kąty nachylenia krawędzi bocznych do płaszczyzn podstawy.

Answer 1

dl,krawedzi bocznej ostroslupa b=12

dl,przeciwprostokatnej c=12cm

zatem przyprostokatna  ma dlugosc

a√2=c

a√2=12

a=12/√2=6√2 cm

Pp=½·6√2 ·6√2 =36cm²

jezeli opiszemy okrag na podstawie tego trojkata to jego srednica rowna sie dlugosci przeciwprostokatnej tego Δ czyli

2r=c

2r=12  /:2

r=6cm

z pitagorasa 

6²+H²=b²

36+H²=12²

36+H²=144

H²=144-36

H²=108=6√3cm--->dl,wysokosci bryly

a)Objetosc ostroslupa

V=⅓Pp·H=⅓·36cm²·6√3cm=72√3 cm³

 

 2 sciany boczne saΔ rownoramiennymi o podstawie a=6√2 i ramieniu b=12

z pitagorasa :

(1/2a)²+h²=b²

(3√2)²+h²=12²

18+h²=144

h²=144-18

h=√126=3√14cm

Pb=2·½ah=ah=6√2·3√14=18√28=36√7 cm²

zatem 3 sciana boczna jest Δ rownobocznym  o boku a=12

P=(a²√3)/4=(12²√3)/4=(144√3)/4=36√3 cm²

Pole calkowite ostroslupa 

Pc=Pp+Pb+P=36+36√7+36√3 =36(1+√7+√3)cm²

b)

tgα=H/r =6√3/6=√3  to α=60°