Question

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna o długości 8√2 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α= 45 stopni .Oblicz objętość tego ostrosłupa .

Answer 1

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny.
Krawędź boczna b= 8√2 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α= 45⁰, czyli wysokość ostrosłupa H jest równa
⅔ wysokości h podstawy {jest to dwie trzecie wysokości trójkąta równobocznego, bo spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym}.
Z proporcji trygonometrycznej dla trójkąta prostokątnego
o przyprostokątnej równej wysokości ostrosłupa H,
drugiej przyprostokątnej równej ⅔ wysokości h podstawy
i przeciwprostokątnej równej krawędzi bocznej b= 8√2
oraz kącie ostrym α= 45⁰ obliczamy wysokość ostrosłupa H:
sinα= H/b, sin 45⁰= H/(8√2),
H= 8√2*sin45⁰= 8√2*√²/₂ {bo sin 45⁰= √²/₂}
czyli H= 8, więc też ⅔h= 8
Teraz z wzoru na wysokość trójkąta równobocznego
obliczamy bok a trójkąta równobocznego: h= a√³/₂}
⅔h= 8, stąd h= 8*³/₂= 12
h= a√³/₂= 12, stąd a√3= 24 bok trójkąta a= 24/√3 = 24√3/3= 8√3
Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:
Pp= a²√3/4= (8√3)²*√3/4=192*√3/4= 48√3
Obliczamy objętość ostrosłupa:
V= ⅓Pp*H = ⅓* 48√3* 8= 16√3* 8= 128√3
Odp. Objętość tego ostrosłupa jest równa 128√3.