Question

W okręgu o środku O średnica AB i cięciwa AC o długości 4 cm worzą kąt o mierze 30 stopni. Styczna do okręgu w punkcie C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz długość odcinka CD. Bardzo proszę o pomoc!

Answer 1

Odpowiedź końcowa wyszła mi 4 cm, ale przyznam, że zadanko jest wyczesane. Zrób tak:

AB - średnica
AC - cięciwa
kąt CAB = 30 stopni

Odbij punkt C symetrycznie względem prostej AB. Odbicie lustrzane tego punktu C oznacz przez E.

Zauważ, że kąt CAE = 60 stopni, oraz, że |AC| = |AE|, czyli jest to trójkąt równoramienny. Skoro kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe, to zważywszy na to, że kąt CAE = 60 sopni, masz, że kąt ACE = 60 stopni oraz kąt AEC = 60 stopni. Trójkąt AEC jest więc równoboczny.

Środek okręgu oznacz literką S.

Ponieważ |SA| = |SC| = |SE|, więc okrąg dany w zadaniu jest okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym ACE. Długość promienia R takiego okręgu wylicza się mnożąc długość boku trójkąta AEC przez pierwiastek z 3 i otrzymany wynik dzieląc przez 3. Mamy więc, że:

R = (|AC| * pierw. z 3) / 3 = (4 pierw. z 3) / 3.

Połącz punkt S i C. Zauważ, że jest to promień tego okręgu poprowadzony do punktu styczności. Oznacza to, że kąt SCD = 90 stopni.

Zauważ, że kąt CAB i kąt CSB opierają się na tym samym łuku, czyli kąt CSB jest dwa razy większy od kąta CAB, czyli kąt CSB = 60 stopni.

Wniosek: Trójkąt CSB ma kąty: 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni.

Robiąc jego lustrzane odbicie względem prostej CD dostaniesz trójkąt SBF który ma wszystkie kąty po 60 stopni, czyli jest równoboczny.

Zauważasz, że |SF| czyli bok tego trójkąta jest równy 2 * |SC|. Ponieważ odcinek SC to promień R tego okręgu, więc |SF| = 2 * R = (8 pierw. z 3) / 3.

Zauważasz, że odcinek DC to wysokość tego trójkąta równobocznego SBF. Wzór na wysokość h trójkąta równobocznego wylciza się mnożąc długość boku tego trójkąta przez pierw. z 3 i otrzymany wynik dzieląc przez 2. Zatem:

h = [(8 pierw. z 3) / 2] * [(pierw. z 3) / 2] = (8 * 3) / 6 = 24 / 6 = 4 cm

Ponieważ długość odcinka CD oznaczyliśmy przez h, więc mamy, że |CD| = 4 cm.

Uff. Będzie naj?